Question

4 - Determine o valor de a, n, área do triângulo e perímetro do triângulo.

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

• A letra a é a medida da hipotenusa

• As letras b e c são as medidas dos catetos;

• A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

• A letra n é a projeção do cateto sobre a hipotenusa;

• A letra m é a projeção do cateto sobre a hipotenusa.

Listarei aqui as 6 relações métricas no triângulo retângulo.

$\begin{cases}a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \\ a.h = b.c \\ \\ h { }^{2} = m.n \\ \\ a = m + n \\ \\ b {}^{2} = a.m \\ \\ c {}^{2} = a .n \end{cases}$

Pronto, agora vamos utilizar a relação que fala que (h² = m.n)

Escolhi essa relação pois temos o valor de "h" que é 15, o valor de "m" que é 9, com isso podemos achar o valor de "n".

Substituindo:

$h {}^{2} = m.n \\ \\ 15 {}^{2} = 9.n \\ \\ 225 = 9n \\ \\ n = \frac{225}{9} \\ \\ \boxed{n = 25}$

Sabendo o valor de m e n, podemos substituir na relação (a = m + n).

Substituindo:

$a = m + n \\ \\ a = 9 + 25 \\ \\ \boxed{a = 34}$

Agora vamos encontrar as outras extremidades do triângulo.

Começaremos usando a relação (b² = a

m) para achar o valor do lado "b".

$b^{2} = a.m \\ b^{2} = 34.9 \\ b^{2} = 306 \\ b = \sqrt{306} \\ b = \sqrt{3^{2} . 17 . 2} \\ b = 3\sqrt{34}$

Agora vamos descobrir "c".

$c^{2} = a.n \\ c^{2} = 34.25 \\ c^{2} = 850 \\ c = \sqrt{850} \\ c = \sqrt{5^{2} . 17 . 2} \\ c = 5\sqrt{34}$

Para calcular o PERÍMETRO, basta as medidas de a,b e c.

Perímetro = 3√34 + 5√34 + 34

Perímetro = 8√34 + 34

Perímetro = 2 . (4√34 + 17) u.c

Agora vamos ao cálculo da área.

A base desse triângulo é representada por "a" e a altura por "h", então vamos substituir os valores dessas incógnitas na fórmula da área de um triângulo:

A = a x h / 2

A = 34 x 15 / 2

A = 255 u.a

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️