Question

4) Determine o comprimento da corda formada pela reta x + y -3 = 0 e a circunferência x²+y²=5 ?
5) Qual a distância da reta 3x – 4y = 0 até a circunferência x²+y²-10x+24=0 ?
6) Determine a equação da circunferência cujo centro é o ponto C ( -5, 4 ) e tangente ao eixo das ordenadas.

Answer 1

4) Encontrar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência. Isto equivale a resolver o sistema:

$\left\{ \begin{array}{lc} x+y-3=0&\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ x^{2}+y^{2}=5&\;\;\;\;\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Isolando $y$ na equação $\mathbf{(i)},$ temos

$y=3-x\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


Substituindo na equação $\mathbf{(ii)},$ temos

$x^{2}+(3-x)^{2}=5\\ \\ x^{2}+9-6x+x^{2}=5\\ \\ 2x^{2}-6x+9-5=0\\ \\ 2x^{2}-6x+4=0\\ \\ 2\cdot (x^{2}-3x+2)=0\\ \\ x^{2}-3x+2=0\\ \\ x^{2}-x-2x+2=0\\ \\ (x^{2}-x)+(-2x+2)=0\\ \\ x(x-1)-2(x-1)=0\\ \\ (x-1)\,(x-2)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-1=0&\;\text{ ou }\;&x-2=0\\ \\ x=1&\;\text{ ou }\;&x=2 \end{array}$


Substituindo os valores encontrados acima na equação $\mathbf{(iii)},$ temos

$\bullet\;\; x=1\;\;\Rightarrow\;\;y=3-1\;\;\Rightarrow\;\;y=2\\ \\ \bullet\;\; x=2\;\;\Rightarrow\;\;y=3-2\;\;\Rightarrow\;\;y=1$

Os pontos de interseção são os pontos $A(1;\,2)$ e $B(2;\,1).$


O comprimento da corda é a distância entre $A$ e $B:$

$d_{_{AB}}=\sqrt{(x_{_{B}}-x_{_{A}})^{2}+(y_{_{B}}-y_{_{A}})^{2}}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{(2-1)^{2}+(1-2)^{2}}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{1+1}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{2}\text{ u.c.}$


5) Colocando a equação da circunferência na forma reduzida:

$x^{2}+y^{2}-10x+24=0\\ \\ x^{2}-10x+y^{2}=-24\\ \\ x^{2}-10x+25+y^{2}=-24+25\\ \\ (x-5)^{2}+(y-0)^{2}=1^{2}$

A circunferência tem centro no ponto $(5;\,0)$ e raio igual a $1.$


Vamos calcular a distância da reta ao centro da circunferência:

distância da reta $3x-4y=0$ até o ponto $(5;\,0):$

$d=\dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|3x_{0}-4y_{0}|}{\sqrt{(3)^{2}+(-4)^{2}}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|3x_{0}-4y_{0}|}{\sqrt{9+16}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|3x_{0}-4y_{0}|}{\sqrt{25}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|3x_{0}-4y_{0}|}{5}\\ \\ d=\dfrac{|3\cdot 5-4\cdot 0|}{5}\\ \\ d=\dfrac{|15-0|}{5}\\ \\ d=\dfrac{|15|}{5}\\ \\ d=\dfrac{15}{5}\\ \\ d=3\text{ u.c.}$


Como a distância é maior que o raio, então a reta é externa à circunferência.

Para encontrar a distância da reta à circuferência, basta fazer

$d-r=3-1=2\text{ u.c.}$


6) O centro é o ponto $(-5;\,4)$ e a circunferência é tangente ao eixo $y.$ Logo, a distância do centro ao eixo $y$ é o valor do raio da circunferência:

$r=|-5|\;\;\Rightarrow\;\;r=5\text{ u.c.}$


Dados o centro e o raio, a equação reduzida desta circunferência é

$(x-x_{_{C}})^{2}+(y-y_{_{C}})^{2}=r^{2}\\ \\ (x-(-5))^{2}+(y-4)^{2}=5^{2}\\ \\ (x+5)^{2}+(y-4)^{2}=25$