Question

4. determine
equação da reta s que passa pelo ponto P= (-1,3) e é perpendicular a reta r:4х-10y+7=0

Answer 1

Portanto, após terem sido realizados os cálculos, concluímos que a equação da reta é :

$\Large \displaystyle \mathsf{ s: x +y - 4 = 0 }$.

Duas retas $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$ de coeficientes angulares $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_r }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_s}$, respectivamente, são perpendiculares se, e somente se:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ m_r = -\: \dfrac{1}{m_s} ~~ ou ~ ~m_r \cdot m_s = -\: 1 } } }$

Equação reduzida da reta:

Uma equação da reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r }$ que passa pelo ponto $\boldsymbol{ \displaystyle \sf P\: (\:x_0, y_0\:) }$ e tem o coeficiente angular igual a $\boldsymbol{ \displaystyle \sf m }$  é $\boldsymbol{ \displaystyle \sf y - y_0 = m\cdot (x- x_0) }$. Isolando a variável $\boldsymbol{ \displaystyle \sf y }$, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = mx +y_0-mx_0 }$

Indicando por $\boldsymbol{ \textstyle \sf n }$ a constante $\boldsymbol{ \textstyle \sf y_0 - mx_0 }$, temos:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y = mx +n } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf P\: (\: -1, 3\: ) \: \perp \\\sf r: 4x -10y +7 = 0 \end{cases} } }$

Inicialmente determinanos o coeficiente angular da reta r:

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4x - 10y + 7 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4x +7 = 10y }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{4}{10} \: x + \dfrac{7}{10} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{2}{5} \: x + \dfrac{7}{10} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = \dfrac{2}{5} }$

Cálculo do coeficiente angular $\boldsymbol{ \textstyle \sf m_s }$, da reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf s }$, sendo $\boldsymbol{ \textstyle \sf s \perp r }$:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ m_s = -\: \dfrac{1}{m_r} \Rightarrow m_s = -\:\dfrac{1}{2/5} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = -\;\dfrac{5}{2} }$

Equação da reta s:

$\Large \displaystyle \mathsf{ }$$\Large \displaystyle \mathsf{ y - y_0 = m\cdot (x - x_0) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 3 = -\: \dfrac{5}{2} \cdot ( x +1) } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y - 3 = -\: \dfrac{5x}{2} + \dfrac{5}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{5y}{2} - \dfrac{15}{2} = -\: \dfrac{5x}{2} + \dfrac{5}{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 5y - 15 = -5x + 5 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 5x +5y - 15 - 5 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 5x + 5y - 20 = 0 \quad ( \div 5 ) }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x +y - 5 = 0 }$

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