Matemática, perguntado por gabrielsilva20123, 5 meses atrás

4) Determine a equação geral da mediatriz do segmento AB de extremos A = (0,4) e B = (-4,8).

Soluções para a tarefa

Respondido por auditsys

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{A(0;4)\:\:\:\:\:B(-4;8)}$

$\mathsf{M_{AB} = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\:\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)}$

$\mathsf{M_{AB} = \left(\dfrac{0 - 4}{2};\:\dfrac{4 + 8}{2}\right)}$

$\mathsf{M_{AB} = \left(-\dfrac{4}{2};\:\dfrac{12}{2}\right)}$

$\mathsf{M_{AB} = \left(-2;\:6\right)}$

$\mathsf{m = \dfrac{\Delta_Y}{\Delta_X} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{8 - 4}{-4 - 0} = -\dfrac{4}{4} = -1}$

$\mathsf{m'.m'' = -1}$

$\mathsf{m'.(-1) = -1}$

$\mathsf{m' = 1}$

$\mathsf{y - y_0 = m(x - x_0)}$

$\mathsf{y - 6 = 1(x - (-2))}$

$\mathsf{y - 6 = x + 2}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x - y + 8 = 0}}}$

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da mediatriz do referido segmento de reta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m: x - y + 8 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} A = (0, 4)\\B = (-4, 8)\end{cases}$

Sabemos que a mediatriz de um segmento de reta é a reta que cruza perpendicularmente o referido segmento de reta pelo seu ponto médio. Desta forma, a equação da mediatriz pode ser montada da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{M} = -\frac{1}{m_{r}} \cdot(x - x_{M})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - \bigg(\frac{y_{A} + y_{B}}{2}\bigg) = -\frac{1}{\dfrac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}}\cdot\left[x - \bigg(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}\bigg)\right]\end{gathered}$}$

Substituindo as coordenadas na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - \bigg(\frac{4 + 8}{2}\bigg) = - \frac{1}{\dfrac{8 - 4}{-4 - 0}}\cdot\left[x - \bigg(\frac{0 + (-4)}{2}\bigg)\right] \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - \bigg(\frac{12}{2}\bigg) = - \frac{1}{\dfrac{4}{-4}}\cdot\left[x - \bigg(-\frac{4}{2}\bigg)\right] \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 6 = -1\cdot\frac{(-4)}{4}\cdot\left[x - (-2)\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 6 = 1\cdot\left[x + 2\right]\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 6 = x + 2\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos definir a forma geral da equação. Como foi solicitado a "equação geral" então, devemos passas todos os termos para o primeiro membro, deixando apenas o "0" no segundo membro. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -x + y - 6 - 2 = 0\end{gathered}$}$