Question

4- Determinar a distância do ponto P(3; 7) à reta que passa pelos pontos A(-2; 1) e B(6; -3). a) 4√2

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{17\sqrt{5} }{5}....u.m.$      

Este é o valor exato ; valor aproximado é 7,6 u.m.

( ver gráfico em anexo )

Explicação passo a passo:

Primeira parte

Determinar Equação da reta que passa por A  e B

Montar a matriz :

$\left[\begin{array}{ccc}-2&1&1\\6&-3&1\\x&y&1\end{array}\right]$        

Para calcular o Determinante da matriz, pelo Método de Sarrus, acrescenta-

se à direita da matriz, as duas primeiras colunas

|  - 2    1     1  |  - 2    1  

|    6  - 3    1  |    6  - 3

|    x     y    1  |    x    y

De seguida vou dar separadamente a indicação dos cálculos a fazer

|  - 2    º   º |     º    º

|    º  - 3   º  |    º    º

|    º     º   1  |    º    º  

Det = ( - 2 * ( - 3 ) * 1 ) + ...

|    º    1    º   |     º    º

|    º    º    1   |    º     º

|    º     º   º   |    x     º

Det = ( - 2 * ( - 3 ) * 1 ) + ( 1 * 1 * x ) + ...

|    º    º    1   |    º      º

|    º    º    º   |    6     º

|    º     º   º   |    º      y

Det = ( - 2 * ( - 3 ) * 1 ) + ( 1 * 1 * x ) + ( 1 * 6 * y ) - ...

|    º    º    1   |    º     º

|    º  - 3   º   |    º     º

|    x    º    º   |    º     º

Det = ( - 2 * ( - 3 ) * 1 ) + ( 1 * 1 * x ) + ( 1 * 6 * y ) - ( 1 * ( - 3 ) * x ) - ...

|    º    º    º   |  - 2     º

|    º    º    1   |    º      º

|    º    y    º   |    º      º

Det = ( - 2 * ( - 3 ) * 1 ) + ( 1 * 1 * x ) + ( 1 * 6 * y ) - ( 1 * ( - 3 ) * x ) - ( - 2 * 1 * y ) - ...

|    º    º    º   |    º     1

|    º    º    º   |    6     º

|    º    º    1    |    º     º  

Det = ( - 2 * ( - 3 ) * 1 ) + ( 1 * 1 * x ) + ( 1 * 6 * y ) - ( 1 * ( - 3 ) * x ) - ( - 2 * 1 * y ) -

- ( 1 * 6 * 1 )

Det = 6 + x + 6y + 3x + 2y - 6

Det =  4x + 8y

Igualando o valor do determinante a zero, obtenho a equação da reta

4x + 8y = 0

Segundo passo

Calcular a distância de P  à reta

Dado o ponto P ( $x_{0}$ ; $y_{0}$ )  

Reta r = ax + by + c = 0

$d =\dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c| }{\sqrt{a^2+b^2} }$

Neste caso    

P ( 3 ; 7 )       e a reta de equação  4x + 8y = 0

$d =\dfrac{|4*3+8*7+0| }{\sqrt{4^2+8^2} }$        

$d =\dfrac{|12+56| }{\sqrt{16+64} }=\dfrac{68}{\sqrt{80} }$      

Cálculos auxiliares

 80 | 2           80 = 4 * 4 * 5              

 40 | 2

 20 | 2

  10 | 2

    5 | 5

     1

$\sqrt{80} =\sqrt{4*4*5} =\sqrt{4} *\sqrt{4} *\sqrt{5} =2*2*\sqrt{5} =4\sqrt{5}$

Fim de cálculos auxiliares

$d =\dfrac{|12+56| }{\sqrt{16+64} }=\dfrac{68}{4\sqrt{5} }=\dfrac{68:4}{4\sqrt{5}:4 } =\dfrac{17}{\sqrt{5} }$

Observação → Racionalizar denominador de uma fração

As frações são racionalizadas porque dividir um valor por número

irracional ( dízima infinita não periódica )  é bem difícil. Tendo um número

inteiro no denominador é mais fácil.

Observação → Métodos de racionalização de denominador de fração

Quando temos um único radical ( de índice 2 ) no denominador,

multiplicamos o numerador e o denominador pelo radical do denominador.

Exemplo

$\sqrt{5} *\sqrt{5} =(\sqrt{5}) ^{2} =5$

Observação → Porque    $(\sqrt{5} )^2=5$  ?

A radiciação e a exponenciação são operações inversas.

Quando feitas em simultâneo , cancelam-se mutuamente .

Racionalizar o denominador.  

Multiplica-se ambos os termos da fração por  √5    

 

$\dfrac{17}{\sqrt{5} }=\dfrac{17*\sqrt{5} }{\sqrt{5} *\sqrt{5} } =\dfrac{17\sqrt{5} }{(\sqrt{5} )^{2} } =\dfrac{17\sqrt{5} }{5}$    

aproximadamente 7,6 u.m.

( através do gráfico em anexo, se verifica que a distância entre os pontos P

e D, onde medida de [ PD ] é a distância de ponto P à reta que passa por

A ( - 2 ; 1 ) e B ( 6 ; - 3 ) )

( no gráfico medida de PD = c = 7,6 u.m. )

Verificado e correto

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( : ) divisão     ( | )  divisão     (  |      |  )   módulo de

( u. m. )  unidade de medida    

O ponto C do gráfico foi marcado para que fosse criado um polígono PDC,

que neste caso é um triângulo retângulo.

Com base neste polígono o programa informático calcula automaticamente

as medidas dos lados. O que nos interessava era lado "c" = [ PD ]