4. Decomponha os números em fatores primos: a) 80 b) 49 c) 28 d) 38 E) 150
Soluções para a tarefa
Resposta:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
80/2=40/2=20/2=10/2=5/5=1 => 2^4*5
49/7=7/7=1 => 7^2
28/2=14/2=7/7=1=> 2^2*7
38/2=19/19=1 =>2*19
150/2=75/3=25/5=5/5=1 => 2*3*5^2
Explicação passo-a-passo:
É primordial entender o conceito de número primo, uma vez que vamos utilizá-los para decompor os números inteiros. Vamos aqui fazer uma breve retomada da definição de números primos.
Os números primos são aqueles que apresentam em sua lista de divisores somente o número 1 e eles mesmos.
Para verificarmos se os números 11 e 21 são ou não primos, por exemplo, devemos listar os divisores de ambos os números:
D (11) = {1, 11}
D (21) = {1, 3, 7, 21}
Veja que, ao listar os divisores de 11, aparecem somente o número 1 e ele mesmo, assim o número 11 é primo, o que não se aplica ao número 21, que apresenta mais números além de 1 e 21, portanto o número 21 não é primo.
Os principais números primos que utilizamos para realizar a decomposição são os primeiros, assim, é muito importante que saibamos pelo menos os seguintes primos:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …}
A decomposição em fatores primos é uma ferramenta muito poderosa dentro da matemática, uma vez que possibilita a simplificação de expressões algébricas e numéricas. Formalmente, a decomposição em fatores primos é conhecida como Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma:
“Todo número inteiro maior que 1 pode ser escrito como sendo uma multiplicação de números primos.”
Além disso, essa decomposição é única para cada número, ou seja, ao decompor o número 12, por exemplo, ele será o único com tal fatoração. O número que admite uma decomposição é chamado de composto.
Como decompor um número composto?
Para decompor um número composto, devemos realizar divisões sucessivas por números primos – isso se a divisão for possível – até que o quociente seja igual a 1. No final, devemos escrever os números primos utilizados em forma de multiplicação (forma fatorada). Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Escreva o número 24 na forma fatorada.
Para escrever o número 24 na forma fatorada, devemos dividi-lo pelo primeiro número primo que seja possível, ou seja, dividir o número 24 por um número primo no qual a divisão seja exata.
Utilizando o algoritmo da divisão, vamos dividir o 24 por 2.
O quociente encontrado agora foi o número 12, então devemos dividi-lo novamente pelo primeiro número primo cuja divisão seja exata, ou seja, por 2.
Devemos continuar esse processo até que o quociente seja igual a 1. Observe que agora o quociente é igual a 6, logo podemos dividi-lo por 2, pois o número 2 é o primeiro número primo no qual a divisão ainda é possível.
Note que o quociente agora é igual a 3, portanto não é possível dividi-lo por 2. Nesses casos, vamos dividi-lo pelo próximo número primo cuja divisão seja exata, ou seja, por 3.
Como o quociente é igual a 1, a decomposição chegou ao fim, basta agora escrever os números primos (que estão dentro da chave) em forma de produto. Veja:
24 = 2 · 2 · 2 · 3
24 = 23 · 3
Veja que escrevemos o número 24 em forma de produto. Isso significa que fatoramos o número 24 utilizando números primos.