Question

4) de o nome do triângulo que tem:

A) tres lados com medidas diferentes

b) um angulo obtuso

c)tres lados congruentes

d)tres angulos de 60 graus

e)dois lados com a mesma medida

f)um angulo reto

Answer 1

Os triângulos são polígonos sempre convexos de 3 lados, que podem ser classificados de alguns modos distintos, aqui citaremos todos:

• Classificação por ângulos.

Os triângulos têm a característica da soma de seus ângulos internos sempre ser igual a 180°, isso pode ser facilmente demonstrado (a demonstração está no primeiro anexo). Assim, podemos classificar o triângulo de acordo com seus ângulos internos, em que cada ângulo pode ser reto, obtuso ou agudo.

1. Obtusângulo:

Como o próprio nome pode entregar, o triângulo deve ter um ângulo obtuso e os outros 2 agudos.

E preste atenção no que a letra b) nos diz. Um ângulo obtuso é suficiente para determinar que o triângulo é obtusângulo, e a explicação do porque está a seguir:

Pela propriedade da soma dos ângulos internos teremos que, para um triângulo cujos ângulos são α, β e θ:

$\alpha+\beta+\theta = 180\°$

Como  α > 90°, então

$\alpha+\beta+\theta>90\°+\beta+\theta$

$180\°>90\°+\beta+\theta$

$\beta+\theta<90\°$

Portanto, β e θ devem ser agudos.

Assim, um ângulo obtuso implica os outros dois agudos.

      2. Acutângulo:

Um acutângulo é um triângulo cujos ângulos são todos agudos, ou seja,

$\alpha, \:\beta, \:\theta < 90\°$

Preste atenção que a letra d) nos mostra isso, ela diz que

$\alpha, \:\beta, \:\theta = 60\°$

Uma vez que 60° < 90°

$\therefore \alpha, \:\beta, \:\theta < 90\°$

Portanto, um Acutângulo.

Esse tipo de triângulo é interessante, mas não basta que todos sejam menores que 90°, pois podem existir α, β e θ que satisfaçam mas não formem triângulos, vou mostrar:

$\alpha+\beta+\theta <90\°\times 3 = 270\°$

Mas não podemos esquecer que a soma dos ângulo deve ser igual a 180°, o que não é satisfeito na anterior, mas

$180\° = \alpha+\beta+\theta < 270\° \implies 180\°<270\°$

O que mostra que é possível formar tal triângulo com α, β e θ tais que formem

$\alpha+\beta+\theta = 180\°$

Assim, um triângulo é acutângulo quando satisfaz mais uma situação, a de cima, e como na d) temos que

$\alpha, \:\beta, \:\theta = 60\°$

Então,

$\alpha+\beta+\theta =60\°\times 3 = 180\°$

O que nos confirma que de fato é um Acutângulo.

      3. Retângulo:

Um triângulo retângulo é bem interessante pois é seu nome vem do fato do seu obtimento. Um triângulo retângulo é obtido ao cortar um retângulo por uma de suas diagonais, como mostra o anexo 2, devido a este fato isso implica que um de seus ângulos deve ser reto! igual a 90°

$\alpha = 90\°$

E é exatamente o que nos diz a letra f), que nos diz que há um ângulo reto, e isso implica que deve ser um triângulo retângulo.

O triângulo retângulo tem uma propriedade famosa envolvendo o tamanho dos lados, dado um triângulo de lados a, b, c, sendo c o lado oposto ao ângulo reto, suas medidas estarão ligadas pela expressão:

$a^2+b^2 = c^2$

Chamado teorema de pitágoras e os lados a e b são chamados de catetos e c, a hipotenusa.

• Classificação pelos lados.

Todos os triângulo possuem 3 lados, mas a classificação se trata quando mexemos no tamanho dos lados, se são diferentes ou iguais, temos cada possibilidade:

1. Todos diferentes = Triângulo escaleno:

Um triângulo escaleno é tal que todos seus lados são diferentes, independente do ângulo, mas mesmo assim é preciso ter cuidado na formação dele, pois nem todo trio de lados (l₁, l₂, l₃) forma um triângulo, e o que garante que um triângulo exista baseado em seus lados é o que conhecemos como desigualdade triangular:

Dados l₁, l₂, l₃ lados de um triângulo, ele só existe se e somente se essas 3 desigualdades forem estabelecidas:

$l_1+l_2 > l_3$

$l_2+l_3>l_1$

$l_1+l_3>l_2$

Não provarei essas desigualdade aqui, mas tome-as como verdadeiras.

Assim, dados l₁, l₂ e l₃ diferentes um a um e que satisfaçam a desigualdade triangular, esse triângulo será Escaleno, e é o que fala a letra a), 3 lados de medidas distintas.

      2. 2 iguais = Isósceles:

Um triângulo é isósceles quando dados l₁, l₂ e l₃, dois deles sejam iguais, tome então, l₁ = l₂. Esse triângulo existe para quaisquer l₁ e l₃ tais que:

$l_1 > \dfrac{l_3}{2}$

Pois pela desigualdade e por l₁ = l₂:

$l_1+l_2 > l_3 \implies 2l_1>l_3$

$l_2+l_3>l_1\implies l_3>0$

$l_1+l_3>l_2\implies l_3 >0$

E a letra que fala exatamente isso é a e), dois lados com a mesma medida.

      2. Todos iguais = Equilátero:

Como o próprio nome diz "Lados iguais", o equilátero é tal que

$l_1 = l_2 = l_3 = L$

E para todo l > 0, ele existe pois

$l_1+l_2 > l_3 \implies 2L>L$

$l_2+l_3>l_1\implies 2L>L$

$l_1+l_3>l_2\implies 2L>L$

O que é claro que L+L > L, já que L > 0.

A letra que nos diz exatamente isso é a letra c), que diz que os três lados são congruentes, ou seja, que os três lados são iguais em medida.

Answer 2

Os triângulos são polígonos sempre convexos de 3 lados, que podem ser classificados de alguns modos distintos, aqui citaremos todos:

Classificação por ângulos.

Os triângulos têm a característica da soma de seus ângulos internos sempre ser igual a 180°, isso pode ser facilmente demonstrado (a demonstração está no primeiro anexo). Assim, podemos classificar o triângulo de acordo com seus ângulos internos, em que cada ângulo pode ser reto, obtuso ou agudo.

Obtusângulo:

Como o próprio nome pode entregar, o triângulo deve ter um ângulo obtuso e os outros 2 agudos.

E preste atenção no que a letra b) nos diz. Um ângulo obtuso é suficiente para determinar que o triângulo é obtusângulo, e a explicação do porque está a seguir:

Pela propriedade da soma dos ângulos internos teremos que, para um triângulo cujos ângulos são α, β e θ:

Como  α > 90°, então

Portanto, β e θ devem ser agudos.

Assim, um ângulo obtuso implica os outros dois agudos.

      2. Acutângulo:

Um acutângulo é um triângulo cujos ângulos são todos agudos, ou seja,

Preste atenção que a letra d) nos mostra isso, ela diz que

Uma vez que 60° < 90°

Portanto, um Acutângulo.

Esse tipo de triângulo é interessante, mas não basta que todos sejam menores que 90°, pois podem existir α, β e θ que satisfaçam mas não formem triângulos, vou mostrar:

Mas não podemos esquecer que a soma dos ângulo deve ser igual a 180°, o que não é satisfeito na anterior, mas

O que mostra que é possível formar tal triângulo com α, β e θ tais que formem

Assim, um triângulo é acutângulo quando satisfaz mais uma situação, a de cima, e como na d) temos que

Então,

O que nos confirma que de fato é um Acutângulo.

      3. Retângulo:

Um triângulo retângulo é bem interessante pois é seu nome vem do fato do seu obtimento. Um triângulo retângulo é obtido ao cortar um retângulo por uma de suas diagonais, como mostra o anexo 2, devido a este fato isso implica que um de seus ângulos deve ser reto! igual a 90°

E é exatamente o que nos diz a letra f), que nos diz que há um ângulo reto, e isso implica que deve ser um triângulo retângulo.

O triângulo retângulo tem uma propriedade famosa envolvendo o tamanho dos lados, dado um triângulo de lados a, b, c, sendo c o lado oposto ao ângulo reto, suas medidas estarão ligadas pela expressão:

Chamado teorema de pitágoras e os lados a e b são chamados de catetos e c, a hipotenusa.

Classificação pelos lados.

Todos os triângulo possuem 3 lados, mas a classificação se trata quando mexemos no tamanho dos lados, se são diferentes ou iguais, temos cada possibilidade:

Todos diferentes = Triângulo escaleno:

Um triângulo escaleno é tal que todos seus lados são diferentes, independente do ângulo, mas mesmo assim é preciso ter cuidado na formação dele, pois nem todo trio de lados (l₁, l₂, l₃) forma um triângulo, e o que garante que um triângulo exista baseado em seus lados é o que conhecemos como desigualdade triangular:

Dados l₁, l₂, l₃ lados de um triângulo, ele só existe se e somente se essas 3 desigualdades forem estabelecidas:

Não provarei essas desigualdade aqui, mas tome-as como verdadeiras.

Assim, dados l₁, l₂ e l₃ diferentes um a um e que satisfaçam a desigualdade triangular, esse triângulo será Escaleno, e é o que fala a letra a), 3 lados de medidas distintas.

      2. 2 iguais = Isósceles:

Um triângulo é isósceles quando dados l₁, l₂ e l₃, dois deles sejam iguais, tome então, l₁ = l₂. Esse triângulo existe para quaisquer l₁ e l₃ tais que:

Pois pela desigualdade e por l₁ = l₂:

E a letra que fala exatamente isso é a e), dois lados com a mesma medida.

      2. Todos iguais = Equilátero:

Como o próprio nome diz "Lados iguais", o equilátero é tal que

E para todo l > 0, ele existe pois

O que é claro que L+L > L, já que L > 0.

A letra que nos diz exatamente isso é a letra c), que diz que os três lados são congruentes, ou seja, que os três lados são iguais em medida.