Question

4) Dados os pontos A(2 , 1 , 1); B(3 , -1 , 0) e C(4 , 2 , -2), determinar:

a) A área do triângulo ABC.

b) A altura do triângulo relativa ao vértice C.

Answer 1

Para determinar o triângulo teremos que ter os vetores:

$u=AB \\ \\ u=B-A \\ \\ u=(1,-2,-1) \\ \\ \cdots \cdots \cdots \\ \\ v=AC \\ \\ v=C-A \\ \\ v=(2,1,-3)$

A fórmula para o cálculo da área de um triângulo no R³ é:

$a=\displaystyle \frac{|| u \times v||}{2}$

Vamos calcular o numerador:

$|| u \times v || = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-2&-1\\2&1&-3\end{array}\right] \\ \\ \\ || u \times v || = 7i+j+5k \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{7^{2}+1^{2}+5^{2}} \\ \\ \\ || u \times v || = \sqrt{75}$

Então a área do triângulo será:

$a=\displaystyle \frac{\sqrt{75}}{2}$

E a altura relativa ao vértice C é dado pela fórmula normal da área de um triângulo que todos nós conhecemos:

$a=\displaystyle \frac{b \cdot h}{2}$

Temos todos os dados menos o valor da base que é dado pelo módulo do vetor u:

$||u||=(1,-2,-1) \\ \\ ||u||= \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}} \\ \\ ||u||= \sqrt{6}$

Concluindo, a altura do triângulo relativo ao vértice C é:

$a=\displaystyle \frac{b \cdot h}{2} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{ \sqrt{6} \cdot h}{2} \\ \\ \\ 2\sqrt{75}=2\sqrt{6}h \\ \\ \\ h= \frac{ \sqrt{75} }{ \sqrt{6} }$

Pode ficar a vontade para simplificar a expressão.