4.Construa o gráfico da função = 2 − 8 + 2.
Soluções para a tarefa
Resposta:
O gráfico de uma função é o conjunto de pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem a seguinte condição: y = f(x). Em outras palavras, para cada valor de x, existe um único valor de y relativo a ele, obtido pela lei de formação da função.
Os gráficos mais importantes estudados no ensino fundamental pertencem à função do primeiro grau e do segundo grau. No ensino médio, também são estudados os gráficos da função logarítmica, exponencial, trigonométrica etc. Neste artigo, discutiremos uma técnica que pode ser usada para construir o gráfico de uma função do segundo grau.
Explicação passo-a-passo:
Uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita da seguinte maneira:
f(x) = ax2 + bx + c
Em que a, b e c são números reais, chamados coeficientes, com a sempre diferente de zero, e x é a variável independente.
O gráfico dessas funções é sempre uma parábola que pode ser construída a partir de três pontos que pertencem a ela: vértice e as duas raízes, ou vértice e dois pontos “aleatórios”.
1 – Encontrando o vértice da parábola
As parábolas que podem ser usadas como gráfico de uma função do segundo grau devem ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. No primeiro caso, a parábola possui um ponto mais baixo, onde a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente. No segundo caso, a parábola possui um ponto mais alto, onde a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente. Esse ponto é chamado vértice.
Para encontrar as coordenadas do vértice V = (xv, yv), podemos usar as seguintes fórmulas:
xv = – b
2a
e
yv = – Δ
4a
2 – Encontrando as duas raízes da parábola
As raízes de uma função são os pontos nos quais o gráfico dessa função encontra o eixo x do plano cartesiano. No caso das funções do segundo grau, o número de raízes pode ser 0, 1 ou 2. Se a função possui duas raízes, o melhor a ser feito é usá-las na construção do gráfico.
Para encontrar as raízes de uma função do segundo grau, utilize a fórmula de Bháskara. Primeiro, determine o discriminante da função:
Δ = b2 – 4ac
Em seguida, substitua-o na fórmula de Bháskara, assim como os coeficientes:
x = – b ± √?
2a
As coordenadas das raízes da função serão: A = (x’, 0) e B = (x’’, 0). A partir desses três pontos, as duas raízes e o vértice, basta colocá-los no plano cartesiano e ligá-los por meio de uma parábola. Nesse processo, note que a parábola terá a concavidade voltada para baixo se o vértice estiver acima do eixo x, ou terá a concavidade voltada para cima se o vértice estiver abaixo do eixo x.
Na imagem acima, observe que a primeira parábola possui vértice abaixo do eixo x e sua concavidade é voltada para cima. O inverso acontece à segunda parábola, que tem o vértice acima do eixo x e concavidade voltada para baixo.
Exemplo:
Construa o gráfico da função: f(x) = x2 + 2x – 8.
O primeiro passo é encontrar o vértice dessa função. Usando as fórmulas estudadas, teremos:
xv = – b
2a
xv = – 2
2
xv = – 1
yv = – Δ
4a
yv = – (b2 – 4ac)
4a
yv = – (22 – 4·1·[– 8])
4
yv = – (4 + 32)
4
yv = – (4 + 32)
4
yv = – (36)
4
yv = – 9
Assim, as coordenadas do vértice dessa parábola são: V = (– 1, –9).
Observe que já sabemos o valor do discriminante dessa função, que foi feito para encontrar yv. Δ = 36. Usando a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes, teremos:
x = – b ± √?
2a
x = – 2 ± √36
2
x = – 2 ± 6
2
x’ = – 2 – 6 = – 8 = – 4
2 2
x’’ = – 2 + 6 = 4 = 2
2 2
Então, as raízes podem ser encontradas nos pontos: A = (– 4, 0) e B = (2, 0). Marcando esses três pontos no plano cartesiano, e depois construindo a parábola que passa por eles, teremos: