Question

4. Considere o quadrado MNPQ, cuja medida do lado é igual a 5 cm. No interior desse quadrado, está o triângulo equilátero MJL, onde os vértices J e L estão
respectivamente sobre os lados NP e PQ do quadrado. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida, em cm², da área limitada pelo triângulo MJL é igual a:

a)
$- 50 + 50 \sqrt{3}$
b)
$25 + 25 \sqrt{3}$
c)
$- 25 + 25 \sqrt{3}$
d)
$- 75 + 50 \sqrt{3}$


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Answer 1

A área limitada pelo triângulo MJL é igual a 50√3 - 75 cm².

Observe a figura abaixo. Note que os triângulos MQL e MNJ são semelhantes.  Além disso, os ângulos QML e JMN são iguais a 15º.

Vamos considerar que os lados do triângulo equilátero MJL são iguais a x. Utilizando a razão trigonométrica cosseno, obtemos:

cos(15) = 5/x

(√6 + √2)/4 = 5/x

x(√6 + √2) = 20

x = 20/(√6 + √2)

Racionalizando:

x = 5√6 - 5√2.

A área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula:

• $S=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.

Portanto, podemos concluir que a área do triângulo equilátero MJL é igual a:

S = (5√6 - 5√2)²√3/4

S = ((5√6)² - 2.5√6.5√2 + (5√2)²)√3/4

S = (150 - 50√12 + 50)√3/4

S = (200 - 100√3)√3/4

S = 50√3 - 25.3

S = 50√3 - 75 cm².

Alternativa correta: letra d).