Matemática, perguntado por tontontavares0, 8 meses atrás

4. Considere a equação de 2² grau -3x² + (n-5)x + ( 10 – n) = 0 e n como um número natural qualquer. Determine o valor de n de forma que:

a) A soma das raízes seja -2
b) O produto das raízes seja -10/3

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Dada a equação de 2º grau

$\large\begin{array}{c}\\\sf-3\:\!x^2+\big(n-5\big)x+\big(10-n\big)=0\\\\\end{array}$

, sabemos pelo enunciado que n ∈ ℕ, sendo qualquer número pertencente a este conjunto. Identificando os coeficientes dessa equação (lembrando da lei de formação ax² + bx + c = 0):

$\large\begin{array}{c}\begin{cases}\sf\boldsymbol{\sf a}=-\:3\\\sf\boldsymbol{\sf b}=n-5\\\sf\boldsymbol{\sf c}=10-n\end{cases}\end{array}$

Agora vamos determinar o valor de n que satisfaça cada caso a seguir:

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letra a)

É sabido que a soma das raízes de uma equação quadrática é dada por S = – b/a. Portanto, para que essa soma seja igual a – 2, n deve ser:

$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf S=-\dfrac{~b~}{a}\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!2=-\dfrac{~n-5~}{\!\!-\:\!3}\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!2=\dfrac{~n-5~}{3}\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!2\cdot3=n-5\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!6=n-5\\\\\sf\iff~~~n-5=-\:6\\\\\sf\iff~~~n=-\:6+5\\\\~~\!\therefore~~~~~\boxed{\sf n=-\:1}~\Rightarrow~\sf\!n\notin\mathbb{N}\end{array}$

R: Como foi dito no início, n pertence ao conjunto dos números naturais. – 1 não é natural, portanto n não possui valor neste conjunto quando a soma das raízes da equação é – 2.

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Letra b)

É sabido que o produto das raízes de uma equação quadrática é dado por P = c/a. Portanto, para que esse produto seja igual a – 10/3, n deve ser:

$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf P=\dfrac{~c~}{a}\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!\dfrac{~10~}{3}=\dfrac{~10-n~}{\!\!-\:\!3}\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!\dfrac{~10~}{3}=-\dfrac{~10-n~}{3}\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!10=-\big(10-n\big)\\\\\sf\iff~~~\!\!-\!10=-\:\!10+n\\\\\sf\iff~~~n-10=-\:\!10\\\\\sf\iff~~~n=-\:\!10+10\\\\~~\!\therefore~~~~~\boxed{\sf n=0}~\Rightarrow~\sf\!n\in\mathbb{N}\end{array}$