Question

4. (Celet MG - Adaptada) Em um setor circular de raiorfo
ram tracados os triangulos ADO e BEO, conforme figura



A soma das medidas dos segmentos AD,DB, BE e CE.
igual a

a)r/2

b)r

c)2r/3

d)2r

e)r/3​

Answer 1

Todos os dois triângulos que aparecem são retângulos, isso significa que podemos utilizar as propriedades básicas da trigonômetria para calcular os lados. Iremos escrever todas as medidas em função do raio da circunferência.

No triângulo ADO, o raio r é a hipotenusa (oposta ao ângulo reto), o ângulo de 60° é oposto ao segmento AD e adjascente ao raio r. Então lembra qual relação trigonométrica nos dá o oposto sobre a hipotenusa? O seno. Então:

$sen(60\textdegree) = \dfrac{\overline{AD}}{r}$

O seno de 60° vale $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\overline{AD}}{r}$

Isolando o segmento AD:

$\boxed{\overline{AD} = r \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Agora, para conhecer o segmento BD, precisamos primeiramente descobrir quanto vale o segmento OD. OD é adjascente ao ângulo de 60°. Então agora usamos o cosseno:

$cos(60\textdegree ) = \dfrac{\overline{OD}}{r}$

O cosseno de 60° vale $\dfrac{1}{2}$.

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\overline{OD}}{r}$

Isolando o segmento OD:

$\overline{OD} = r \cdot \dfrac{1}{2}$

Agora, o segmento BD é nada mais que a diferença entre OB e OD. Como OB sai de O e toca a circunferência, sua medida é o raio r. Ou seja:

$\overline{BD} = \overline{OB} - \overline{OD}$

$\boxed{\overline{BD} = r - r \cdot \dfrac{1}{2}}$

O próximo da lista é o segmento BE. BE é oposto ao ângulo de 30°. Nesse triângulo a hipotenusa vale r também e é o segmento OB. Como estamos falando de oposto, usamos o seno:

$sen(30\textdegree) = \dfrac{\overline{BE}}{r}$

O seno de 30° vale $\dfrac{1}{2}$.

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\overline{BE}}{r}$

Isolando o segmento BE:

$\boxed{\overline{BE} = r \cdot \dfrac{1}{2}}$

Finalmente, calculamos então o segmento CE. Para calcularmos CE precisamos primeiro saber quanto vale OE. O segmento OE é adjascente ao ângulo de 30°, então, desta vez, podemos usar o cosseno:

$cos(30\textdegree) = \dfrac{\overline{OE}}{r}$

O cosseno de 30° vale $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\overline{OE}}{r}$

Isolando o segmento OE:

$\overline{OE} = r \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Agora, o segmento CE é nada mais que a diferença entre OC e OE. Como OC sai de O e toca a circunferência, sua medida é o raio r. Ou seja:

$\overline{CE} = \overline{OC} - \overline{OE}$

$\boxed{\overline{CE} = r - r \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Agora só nos resta calcular a soma dos quatro segmentos indicados:

$S = \overline{AD} + \overline{BD} + \overline{BE} + \overline{CE}$

$S = r \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}+ r - r \cdot \dfrac{1}{2}}+ r \cdot \dfrac{1}{2}+r - r \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Os termos fracionários vão todos se anular. Ficando somente:

$\boxed{S = 2 \cdot r}$

Alternativa D