Question

4) As transformações lineares, cada uma definida como sendo uma transformação que leva elementos de um espaço Rn até um outro espaço Rm , possui alguns parâmetros que podem ser analisados, dentre os quais, sua imagem e seu núcleo. Esses elementos são importantes na avaliação do número de dimensões da transformação linear.

Answer 1

Seja a transformação $T(x, y, z) =(x+y, x, x+y+z)$

A)

Teremos que o núcleo da transformação será

$\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

Teremos que a imagem da transformação será $\mathbb{R^3}$

B)

A matriz da transformação será

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$

B) podemos obter a matriz de transformação ao lembrar que qualquer vetor no $\mathbb{R} ^3$ pode ser escrito como$x_1\overset{\rightarrow} {e _1}+x_2\overset{\rightarrow} {e _2}+x_3\overset{\rightarrow} {e _3}$

Onde $\overset{\rightarrow} {e _i}$ são os vetores diretores.

Portanto, para a transformação $T(x, y, z) =(x+y, x, x+y+z)$ teremos os seguintes vetores

$x\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$

$y\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}$

$z\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}$

Assim, a matriz $[x, y, z]$ será

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$

A) Uma vez obtida a matriz, podemos trabalhar com mais facilidade para encontrar o núcleo e a imagem.

O núcleo de uma transformação são todos os vetores $\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}$ tais que T(a, b, c) =0

No caso da matriz dada, teremos que

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

Pela segunda linha da matriz, vemos que $1*a=0$ logo $a=0$

Por consequência, na primeira linha, temos que $a+b=0+b=0\implies b=0$

Por fim, concluímos que $c$ também tem que ser zero.

Logo, o núcleo da transformação linear é o vetor

$\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

A imagem da transformação é o subespaco gerado por esta matriz.

Uma das formas de encontrar o subespaco gerado pela matriz é escalonando e obtendo a matriz e vendo se existe dependência linear (gera um subespaço [a reta ou um plano] ) ou se não existe dependência linear (gera o espaço todo)

Para isso, vamos escalonar a matriz

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$

Primeiro fazemos a soma da primeira linha com menos a segunda linha e Colocamos Este resultado na segunda linha.

ou seja

L1-L2---->L2

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$

faremos agora L1-L3---->L3

$\begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

por fim, faremos

L1-L2---->L1

$\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Vemos assim que esta Matriz é identidade

Logo, gera o $\mathbb{R^3}$