Question

4. A urna I tem 3 bolas brancas e 2 pretas, a urna II tem 4 bolas brancas e 5 pretas, a urna III tem 3 bolas brancas e 4 pretas. Passa-se uma bola, escolhida aleatoriamente, de I para II. Feito isto, retira-se uma bola de II e retiram-se 2 bolas de III.
Qual a probabilidade de saírem 3 bolas da mesma cor? (Probabilidade – Teorema de Bayes)

Answer 1

Olá

Primeiro temos que:

Urna 1: 3 brancas e 2 pretas
Urna 2: 4 brancas e 5 pretas
Urna 3: 3 brancas e 4 pretas

Uma bola da urna 1 foi passada para a urna 2. Vamos dividir em 2 possibilidades:

1ª possibilidade: a bola passada foi uma branca. Lembrando que a probabilidade de retirar uma branca da urna 1 é de $\frac{3}{5}$

Então, temos que:

Urna 1: 2 brancas e 2 pretas
Urna 2: 5 brancas e 5 pretas
Urna 3: 3 brancas e 4 pretas

Daí, temos que retirar uma bola da urna 2 e duas bolas da urna 3. Temos que retirar as 3 bolas de mesma cor, ou seja, P' = BBB ou PPP

Logo, $P' = \frac{3}{5}.( \frac{5}{10}. \frac{3}{7} . \frac{2}{6} + \frac{5}{10}. \frac{4}{7}. \frac{3}{6} ) = \frac{9}{70}$

2ª possibilidade: a bola passada foi uma preta. Lembrando que a probabilidade de retirar uma bola preta da urna 1 é de $\frac{2}{5}$

Então, temos que:

Urna 1: 3 brancas e 1 preta
Urna 2: 4 brancas e 6 pretas
Urna 3: 3 brancas e 4 pretas

Daí, P'' = BBB + PPP, ou seja,

$P" = \frac{2}{5}( \frac{4}{10}. \frac{3}{7}. \frac{2}{6} + \frac{6}{10} . \frac{4}{7} . \frac{3}{6}) = \frac{16}{175}$

Portanto, a probabilidade de saírem as 3 bolas da mesma cor é de P = P' + P''
$P = \frac{9}{70} + \frac{16}{175} = \frac{77}{350} = 0,22$ = 22%