Question

4. [2,5 pontos] a) [0,5 pontos] Obtenha o módulo e o argumento do número complexo z=−1−i b) [1,0 pontos] Escreva a forma trigonométrica de z c) [1,0 pontos] Obtenha z12.

Answer 1

Letra A
Um número complexo pode ser representado num sistemas de coordenadas cartesianas, onde a parte real corresponde ao eixo x (eixo real) e a parte imaginária corresponde ao eixo y (eixo imaginário).

Desta forma, um número complexo z = a + bi forma um triângulo retângulo de catetos a e b, e hipotenusa igual ao módulo de z (|z|).

O argumento do número z é o arco formado entre o eixo horizontal positivo e o módulo de z.
Desta forma, temos:
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$

Como a = -1 e b = -1:
$|z| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2} \\ \\ |z| = \sqrt{2}$

Pela relação trigonométrica $cos(\theta) = \dfrac{a}{|z|}$, temos:
$cos(\theta) = \dfrac{-1}{ \sqrt{2} } = - \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$

O ângulo cujo cosseno é igual a -√2/2 é 135º. Como z está no terceiro quadrante, temos que subtrair este ângulo de 360º. Então o argumento de z é 225º.

Portanto:
|z| = √2
arg(z) = 225º


Letra B
A forma trigonométrica, ou polar, é dada pela fórmula:
$z = p(cos(\theta) + isen(\theta))$

onde p é o módulo de z e θ é o argumento de z.

Portanto, para z = -1 - i, temos:
z = √2 (cos(225) + isen(225))


Letra C
Podemos reescrever o expoente 12, como um produto de 2 e 6:
$z = (-1-i)^{12} = [(-1-i)^2]^6$

Temos que (-1 -i)² = -1² + 2i  +i² = 1 + 2i - 1 = 2i. Então, podemos escrever:
$z = (2i)^6 = 2^6*i^6$

Como sabemos, i^6 é corresponde a i^2 = -1. Então:
$z = (2i)^6 = 64 * (-1) = -64$