Question

(4,0) Calcule as derivadas das funções abaixo:

a- f (x) = tg (5x² + 3x+1)
b- g (x) = (4x³-x²+2x) 8
c- h (x) = ln (sen³x+3)
d- u(x) = 5/sen³x

(2,0) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = /x²+9 no ponto de abscissa x0=4

Answer 1

Para calcularmos as derivas de funções polinomiais basta aplicar a regra de subtrair 1 do expoente e multiplicar o valor pelo expoente:

Exemplo:
x^2 ´ = 2x^(2-1) = 2x^1 = 2x

No caso das funções trigonométricas, precisamos saber:

sen u  ´= cos u du/dx
cos u´ = - sen u du/dx
tg u ´= sec^2 u du/dx

E no caso da função ln temos que saber:

ln u´= 1/u du/dx

Vamos ao exercício:

a- f (x) = tg (5x² + 3x+1)

u = 5x² + 3x+1
du = 2x + 3 dx
du/dx = 2x + 3

f (x) ´ = tg (u) ´ = - sec^2 u du/dx
f (x) ´ = - sec^2 (5x²+3x+1) * (2x+1)
f (x) ´ = - sec^2 (10x^3 + 6x + 2x + 5x² + 3x + 1)
f (x) ´ = - sec^2 (10x^3 + 5x^2 + 11x + 1)

 
b- g (x) = (4x³-x²+2x)^8

u = 4x³-x²+2x
du = 12x^2 - 2x + 2 dx
du/dx = 12x^2 - 2x + 2 

Neste caso temos que aplicar a regra da cadeia, que consiste em derivar a função de fora, que pode ser reescrita como u^8, assim:
f(x) ´ = 8 * u^(8-1) = 8u^7

E agora temos que multiplicar u pela derivada da função du:

g (x) ´= (8u)^7 * du

g(x) ´= (8*(4x³-x²+2x))^7 * 12x² - 2x + 2

g (x)´ = (12x³ - 8x² + 16x)^7 * (12x² - 2x + 2)


c- h (x) = ln (sen³x+3)

h (x)´= ln ´u 

u = sen³x+3

du = sen³x ´ + 3´

sen³x´dx = 3sen²x * (senx)´/dx 
 
Sabendo que senx x´= - cos x,

sen³x´dx = 3sen²x * cosx  dx

Portanto, podemos somar com a derivada do outro termo: 3´ = 0, e por fim temos du/dx:

du = 3sen²x * cosx  dx
du/dx = 3sen²x * cosx 

Voltando a derivada inicial:
h (x)´= ln ´u 

u = sen³x+3
du/dx = 3sen²x * cosx 

h (x) ´= 1/u du/dx
h (x)´ = 1 / sen³x+3 * 3sen²x * cosx 

h (x)´ = 3sen²x * cosx / sen³x+3


d- u(x) = 5/sen³x 

u (x) = 5 * 1/sen³x 

u (x) ´= 5* sen^-3 x


sen^-3x´dx = -3sen^(-3-1) x * (senx)´/dx  
 
Sabendo que senx x´= - cos x,

sen^-3x´dx = -3sen^-4x * cosx  dx

u (x) ´= 5* sen^-3 x
u (x) ´= 5*  -3sen^-4x * cosx dx