Question

3º Questão:

Sobre um ponto material atuam três forças: uma de 1000 N, com direção 30o em relação a Ox, a segunda de 500 N, com direção 0o e a terceira de 800 N e direção 270o. Pede-se a resultante dessas forças, seu módulo e direção.

Answer 1

Você pode decompor as forças em 2 componentes, 1 horizontal e outra vertical, depois, com o resultado das componentes você tira a resultante.

Note que a força de 500N, por ter direção 0º é toda na horizontal (não tem componente vertical), enquanto a de 800N 270º é toda na vertical (pra baixo e não tem componente horizontal).

Componente da Força na Horizontal (Fh):
Fh = F1 + F2 + F3 = 1.000N*cos30º + 500N*cos0º + 800N*cos70º
Fh = 1.000N*$\sqrt{3}$/2 + 500N*1 + 800N*0
Fh = 866N + 500N + 0 = 1.366N

Componente da Força na Vertical (Fv):
Fv = F1 + F2 + F3 = 1000N*sen30º + 500N*sen0º + 800N*sen270º
Fv = 1.000N*1/2 + 500N*0 + 800N*(-1)
Fv = 500N + 0 - 800N = -300N

Módulo da Força Resultante:
Fr = [1.366² + (-300)²]^0,5 N
Fr = (1.865.956 + 90.000)^0,5 N
Fr = (1.955.956)^0,5 N
Fr = 1.398,55N

Se você fizer um diagrama de forças vai ver que a Força Resultante, por ser produto das componentes horizontais e verticais, tem uma direção diagonal, com sentido para baixo e para a direita.

Ângulo (α) do vetor da Força Resultante (em comparação à horizontal)

α =  arccos [ (produto escalar entre Fh e Fr) / produto dos módulos de Fh e Fr) ]
α = arccos [ (Fh · Fr) / (Fh * Fr)]

Como eu sei que a componente vertical é negativa, sei que o valor do ângulo tem que considerar que a Fr vai estar "pra baixo", portanto vou torná-lo negativo:

α = - arccos [ (Fh · Fr) / (Fh * Fr)]
α = - arccos { [ (1366 * 1366) + (0 *- 300) ] / (1366 * 1398,55) }
α = - arccos [1366^2/(1366 * 1398,55)]
α = - arccos (1366 / 1398,55)
α = - arccos 0,9767
α ≈ - 12º = 348º

Obs: De certa maneira, o ângulo exprime o conceito de direção e sentido, pois um ângulo de 348º num círculo convencional (contado no sentido anti-horário) sempre resulta num vetor diagonal, para baixo e para a direita.