Question

39. a ) A medida da diagonal menor de um losango é igual a medida de seu lado. Calcule as medidas dos ângulos desse losango.

b) Em um losango, uma das diagonais forma com um dos lados um ângulo de 42°30'. Determine as medidas dos ângulos internos desse losango.

Answer 1

Aryane,

a) As diagonais do losango o dividem em 4 triângulos retângulos, congruentes entre si (são iguais). Em cada um destes triângulos o lado do losango é a hipotenusa e a metade da diagonal é um cateto. Então, de acordo com o enunciado, o lado mede 1 e a metade da diagonal (cateto do triângulo) mede a metade dele (0,5).

O cateto e a hipotenusa deste triângulo retângulo formam um dos ângulos agudos do triângulo, que é a metade de um dos ângulos internos do losango.

Como estão relacionados um cateto e a hipotenusa, podemos usar a função trigonométrica cosseno para obter a medida deste ângulos, pois:

cosseno = cateto adjacente ÷ hipotenusa

cos = 0,5 ÷ 1

cos = 0,5

O ângulo que tem por cosseno o valor de 0,5 é 60º. Então, o ângulo do losango correspondente mede o dobro: 120º.

Como a soma dos ângulos internos do losango é igual a 360º e os seus ângulos são iguais dois a dois, o ângulo oposto ao de 120º mede também 120º e a soma dos outros será igual a:

360º - 120º - 120º = 120º

Como esta a soma dos outros dois ângulos, cada um mede:

120º ÷ 2 = 60º

R.: Os ângulos do losango medem 120º, 60º, 120º e 60º.

b) A diagonal do losango é também bissetriz dos ângulos. Então, se a diagonal faz com um dos lados um ângulo de 42º30', a medida do ângulo do losango é o dobro dele:

2 × 42º30' = 85º (medida de dois ângulos opostos do losango)

Como vimos acima, a soma dos outros dois ângulos será:

360º - 85º - 85º = 190º

E cada um deles medirá:

190º ÷ 2 = 95º

R.: Os ângulos medem 85º, 95º, 85º e 95º.