Question

38. Suponha que Fábio tenha uma foto de cada uma de suas 3 irmãs, uma foto de seu irmão, uma foto de um amigo, uma foto de um ídolo do rock e uma foto do jogador de futebol favorito. De quantos modos distintos ele poderá escolher as fotos, se dispõe de apenas 5 porta-retratos (3 sobre o apa- rador e 2 na parede) e pretenda que as fotos das irmãs apareçam, obrigatoriamente, lado a lado sobre o aparador?​

Answer 1

Analisando as condições propostas na tarefa e realizando os cálculos necessários, podemos definir que existem $\boxed{\bf 72~modos}$ de escolha das fotos.

Permutação e arranjo

Na análise combinatória, temos a permutação que nos permite calcular o quantitativo de formas em que podemos dispor determinada quantidade de elementos.

Para este cálculo, utilizamos o cálculo fatorial da quantidade total de elementos:

$\large\begin{array}{lr}\mathbf{n!=n(n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdots}\end{array}$

Também temos o arranjo simples, que consiste em analisar o quantitativo de possibilidades de formas que podemos ordenar os n elementos, porém no arranjo a ordem em que eles são apresentados é importante.

Dizemos que n elementos são tomados de m a m:

$\large\begin{array}{lr}\mathbf{A_{n,m}=\dfrac{n!}{(n-m)!}}\end{array}\normalsize \begin{cases}\textbf{n}\Rightarrow \textsf{Total~de~elementos} \\\textbf{m}\Rightarrow \textsf{Quantidade~desejada}\end{cases}$

◕ Hora do cálculo

⇒ Fotos das irmãs

Obrigatoriamente, as fotos das 3 irmãs devem ficar sobre o aparador, logo, utilizaremos a permutação

$\begin{array}{l}\bf P_{3} = \sf 3!\\\bf P_{3} = \sf 3\times2\times1\\\therefore\large\boxed{\bf \bf P_{3} = 6}\end{array}$

⇒ Demais fotos

Temos que organizar 4 fotos em 2 porta-retratos, logo, utilizaremos arranjo

$\begin{array}{l}\raisebox{10pt}{ \sf A_{4,2}=\dfrac{4!}{(4-2)!} }\\\raisebox{10pt}{ \sf A_{4,2}=\dfrac{4!}{2!} }\\\raisebox{10pt}{ \sf A_{4,2}=\dfrac{4\times3\times\diagup\!\!\!\!\!2!}{\diagup\!\!\!\!\!2!} }\\\therefore\large\boxed{\bf A_{4,2} = 12}\end{array}$

⇒ Total de possibilidades

$\begin{array}{l}\sf T_{p}=P_{P_{3}}\times P_{A_{4,2}}\\\sf T_{p}=6\times12\\\therefore\large\boxed{\bf T_{p}=72~modos}\end{array}$

As fotos podem ser escolhidas de 72 modos diferentes

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Dúvidas? Estarei a disposição para eventuais esclarecimentos.

$\begin{array}{l}\textsf{\textbf{Bons\:estudos!}}\\\\\sf Sua\:avaliac_{\!\!,}\tilde{a}o\:me\:ajuda\:a\:melhorar~\orange{\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar}\\\textsf{Marque\:como\:a\:melhor\:resposta\:\textbf{se\:for\:qualificada}}\\\\\textsf{\textbf{\green{Brainly}}\:-\:\blue{\sf Para\:estudantes.\:Por\:estudantes}}\end{array}$