Question

(38 Pontos) Dê a equação da reta que tangencie a função y=x^n em um certo ponto tal que sua coordenada x é dada por a.

Explique de forma detalhada como chegar à essa equação.

Answer 1

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Equação da reta tangente ao gráfico de uma função  f(x)  no ponto de abscissa  x = a:

     $\mathsf{t:~~y-f(a)=f'(a)\cdot (x-a)}$


sendo  f'(a)  o valor da derivada de  f  avaliada em  x = a,  sendo o valor desta derivada também o coeficiente angular da reta tangente.

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Para esta tarefa, temos

     $\mathsf{f(x)=x^n}$


Calculando a derivada pela regra da potência, temos

     $\mathsf{f'(x)=n\cdot x^{n-1}}$


No ponto de abscissa  x = a,  a derivada vale

     $\mathsf{f'(a)=n\cdot a^{n-1}}$


Sendo assim, a equação da reta tangente é

     $\mathsf{t:~~y-a^n=n\cdot a^{n-1}\cdot (x-a)}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)