Question

37) Determine o ponto comum às retas ĀB e CD, no caso
em que:
a) A(1, 2), B(-5, 6), C(3, 3), D(4, -1).
b) A(-3, -6), B(0, 0), C(2, 5), D(-7, 4).
c) A(3, 6), B(4, 7), C(-1, -2), D(-4, -3).​

Answer 1

Resposta:

a) P (37/10, 1/5)

b) P (43/17, 86/17)

c) P (-7, -4)

Explicação passo-a-passo:

Equações de retas são dadas pela fórmula y=mx+n, sendo m e n números reais.

Item a

Reta AB

Se y = mx + n, podemos substituir nessa fórmula os valores de x e y dos pontos A e B, para obter um sistema.

ponto A:

y = mx + n  -->  2 = m.1 + n  -->  n = 2 - m

ponto B:

y = mx + n  -->  6 = m.(-5) + n  -->  n = 5m + 6

Para resolver o sistema, podemos igualar as duas expressões de n

2-m = 5m + 6  -->  -6m = 4  -->  m = -2/3

Para descobrir n, podemos substituir o valor de m em uma das expressões que já temos

n = 2 - m  -->  n = 2 - (-2/3)  -->  n = 8/3

Assim, a reta AB é dada pela fórmula y = -2/3x + 8/3

Reta CD

Para encontrar a formula da reta CD, fazemos o mesmo que com a reta AB:

ponto C:

y = mx + n  -->  3 = m.3 + n  -->  n = 3 - 3m

ponto D:

y = mx + n  -->  (-1) = m.4 + n  -->  n = (-1) - 4m

Para resolver o sistema, podemos igualar as duas expressões de n

3 - 3m = (-1) - 4m  -->  m = -4

Para descobrir n, podemos substituir o valor de m em uma das expressões que já temos

n = 3 - 3m  -->  n = 3 - 3.(-4)  -->  n = 3 + 12  -->  n = 15

Assim, a reta CD é dada pela fórmula y = -4x + 15

No ponto comum às duas retas, o valor de y do ponto na reta AB é igual ao valor de y do ponto na reta CD. Assim, podemos igualar as duas expressões para y:

y = -2/3x + 8/3 e y = -4x + 15

-2/3x + 8/3 = -4x + 15

-2x + 8 + -12x + 45

10x = 37

x = 37/10

Para obter o valor de y, podemos substituir o valor de x em uma das fórmulas:

y = -4x + 15

y = -4 . 37/10 + 15

y = -148/10 + 15

y = 2/10

y = 1/5

Assim, o ponto comum às retas AB  e CD é o ponto P(37/10, 149/5)

Para resolver os outros itens, podemos usar o mesmo procedimento:

Item b

Reta AB

ponto B:

y = mx + n  -->  0 = m.0 + n  -->  n = 0

ponto A:

y = mx + n  -->  -6 = m.(-3) + 0  -->  3m = 6  -->  m = 2

Assim, a reta AB é dada pela fórmula y = 2x

Reta CD

ponto C:

y = mx + n  -->  5 = m.2 + n  -->  n = 5 - 2m

ponto D:

y = mx + n  -->  4 = m.(-7) + n  -->  n = 4 + 7m

Igualando as duas expressões de n, temos:

5 - 2m = 4 + 7m  -->  -9m = -1  --> m = 1/9

Substituir o valor de m, temos:

n = 5 - 2m  -->  n = 5 - 2.(1/9)  -->  n = 5 - 2/9  -->  n = 43/9

Assim, a reta CD é dada pela fórmula y = 1/9x + 43/9

Igualando as duas expressões para y, temos:

y = 2x e y = 1/9x + 43/9

2x = 1/9x + 43/9

18x = x + 43

17x = 43

x = 43/17

Substituindo o valor de x, temos:

y = 2x

y = 2 . 43/17

y = 86/17

Assim, o ponto comum às retas AB é o ponto P(43/17, 86/17)

Item c

Reta AB

ponto A:

y = mx + n  -->  6 = m.3 + n  -->  n = 6 - 3m

ponto B:

y = mx + n  -->  7 = m.4 + n  -->  n = 7 - 4m

Igualando as duas expressões de n, temos:

6 - 3m = 7 - 4m  -->  m = 1

Substituindo o valor de m, temos:

n = 6 - 3m  -->  n = 6 - 3.1  -->  n = 6 - 3  -->  n = 3

Assim, a reta AB é dada pela fórmula y = x + 3

Reta CD

ponto C:

y = mx + n  -->  -2 = m.(-1) + n  -->  n = m - 2

ponto D:

y = mx + n  -->  -3 = m.(-4) + n  -->  n = 4m - 3

Igualando as duas expressões de n, temos:

m - 2 = 4m - 3  -->  -3m = -1  --> m = 1/3

Substituindo o valor de m, temos:

n = m - 2  -->  n = 1/3 - 2  -->  n = -5/3

Assim, a reta CD é dada pela fórmula y = 1/3x - 5/3

Igualando as duas expressões para y, temos:

y = x + 3 e y = 1/3x - 5/3

x + 3 = 1/3x - 5/3

3x + 9 = x - 5

2x = -14

x = -7

Substituindo o valor de x, temos:

y = x + 3

y = -7 + 3

y = -4

Assim, o ponto comum às retas AB é o ponto P(-7, -4)