Question

34. Obtenha o módulo e o argumento do número complexo z = 1 i 1−i − 1−i 1 i.

Answer 1

O módulo do número z é igual a 2 e o argumento é igual a 90º. Podemos determinar o módulo e o argumento a partir da obtenção da parte real e imaginária do número.

Número Complexo

Seja z = a + bi um número complexo. O módulo desse número complexo |z| pode ser calculado por:

$\boxed{|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Dado o número complexo do enunciado:

$z = \dfrac{1+i}{1-i} - \dfrac{1-i}{1+i}$

Sabendo que i² = -1, efetuando a subtração das frações:

$z = \dfrac{1+i}{1-i} - \dfrac{1-i}{1+i} \\\\z = \dfrac{ (1+i)(1+i) - (1-i)(1-i) }{(1-i)(1+i)} \\\\z = \dfrac{ (1+i)^{2} - (1-i)(1-i)^{2} }{1^{2}-i^{2}}} \\\\z = \dfrac{ 1+2i+i^{2} - 1+2i-i^{2} }{1^{2}-(-1)}} \\\\z = \dfrac{ 4i }{2} \\\\z = 2i$

Trata-se de um número complexo puro. Calculando o módulo do número:

$|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \\\\|z| = \sqrt{0^{2}+2^{2}} \\\\|z| = 2$

O módulo do número complexo vale 2. Podemos ainda determinar o argumento por:

$sen(\alpha) = \dfrac{b}{|z|} \\\\sen(\alpha) = \dfrac{2}{2} \\\\sen(\alpha) = 1 \\\\\alpha = 90^{\circ}$

O argumento do número é igual a 90º.

Para saber mais sobre Números Complexos, acesse: brainly.com.br/tarefa/40520255

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ4