ENEM, perguntado por oicarolis6822, 4 meses atrás

34. obtenha o módulo e o argumento do número complexo z = 1 i 1−i − 1−i 1 i .

Soluções para a tarefa

Respondido por JV070

O argumento do número complexo é de: 225º e o módulo é $\sqrt{2}$ .

Explicação Passo a Passo:

Primeiramente observa-se que a notação da fórmula contém um erro de notação, portanto para melhor responder consideramos que Z= -1-i

Calculando o módulo:

O módulo nada mais é o segmento de reta formado num plano cartesiano (plano de Argand-Gauss), do ponto de Origem (0,0) ao ponto dado por z = x + iy ou seja (x, yi).

Convém destacar que quando disposto em plano cartesiano, os pontos formam um triângulo retângulo, onde z é a hipotenusa dessa relação, sendo assim poderemos usar o teorema de Pitágoras para obter o módulo, e a lei dos senos e cossenos para determinar o argumento de z.

Cálculo do Módulo:

Calculando a distância entre o ponto (-1, -1i) e (0, 0) que é = (-1, -1i), assim temos que módulo ao de Z segundo o teorema de Pitágoras será:

$|z|^{2} =x^{2}+ y^{2} \\\\ou\\\\|z| =\sqrt{x^{2}+ y^{2}} \\$

sendo x= -1 e y = -1i temos:

$|z| =\sqrt{x^{2}+ y^{2}} \\ |z| =\sqrt{1^{2}+ 1^{2}} \\|z| = \sqrt{2}$

Cáuculo do Argumento:

O argumento nada mais é do que o ângulo formado da reta X até o segmento do Módulo, que pode ser obtida através das relações trigonométricas, nesse caso podemos usar a fórmula da tangente, já que possuímos o cateto oposto (-1i) e o cateto adjacente (-1) veja:

$Tg \theta = \frac{COp}{CAd} \\Tg \theta = \frac{-1i}{-1} \\Tg \theta = 1$