33. Os números terminados em 1, 3, 5, 7 e 9 são chamados de ímpares. Todo número ímpar, quando dividido por
2, deixa resto igual a 1. Os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 são chamados de pares. Os números pares,
quando divididos por 2, deixam resto 0.
Quantos números pares de algarismos distintos existem entre 1.000 e 20.000? Gab A
a) 3976.
b) 4200.
c) 4376.
d) 5432.
e) 5600.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Vamos monstar as possibilidades e depois, por indução, completar o resto.
Para sabermos os pares entre 1000 e 20000 com os algarismos distintos, faremos por grupo.
Assim:
No grupo de 1000, teremos,
1 __ __ __ => como não sabemos quais são os números, vamos por partes... Então vamos começar pelos pares de 4 dígitos que começam com 1, depois vamos para os que começam com 2, assim sucessivamente.
O número precisa ser par, então na última posição teremos 5 possibilidades, os números 0, 2, 4, 6 e 8.
Como já temos um na primeira posição e um na última, na segunda posição só poderemos ter 8 possibilidades.
Na terceira, somente 7 possibilidades (pela mesma explicação acima).
Assim, teremos: 8.7.5 números pares de 4 algarismos e que começam com 1.
No grupo de 2000, teremos,
2 __ __ __ => Cuidado quando o número começa com algarismo par, pois eles não podem repetir! O número precisa ser par, então na última posição teremos 4 possibilidades, os números 0, 4, 6 e 8.
Como já temos um na primeira posição e um na última, na segunda posição só poderemos ter 8 possibilidades.
Na terceira, somente 7 possibilidades (pela mesma explicação acima).
Assim, teremos: 8.7.4 números pares de 4 algarismos e que começam com 2.
No grupo de 3000, teremos,
3 __ __ __ => O número precisa ser par, então na última posição teremos 5 possibilidades, os números 0, 2, 4, 6 e 8.
Como já temos um na primeira posição e um na última, na segunda posição só poderemos ter 8 possibilidades.
Na terceira, somente 7 possibilidades (pela mesma explicação acima).
Assim, teremos: 8.7.5 números pares de 4 algarismos e que começam com 3.
No grupo de 4000, teremos,
4 __ __ __ => Cuidado quando o número começa com algarismo par, pois eles não podem repetir! O número precisa ser par, então na última posição teremos 4 possibilidades, os números 0, 2, 6 e 8.
Como já temos um na primeira posição e um na última, na segunda posição só poderemos ter 8 possibilidades.
Na terceira, somente 7 possibilidades (pela mesma explicação acima).
Assim, teremos: 8.7.4 números pares de 4 algarismos e que começam com 4.
Agora perceba que:
Quando um número começa com algarismo ímpar a quantidade de números pares com algarismos distintos que teremos será 8.7.5.
Quando um número começa com algarismo par a quantidade de números pares com algarismos distintos que teremos será 8.7.4.
Assim não precisamo fazer todas as possibilidades para os números de 4 algarismos.
Os números de 4 algarismos vão de 1 __ __ __ até 9 __ __ __
Assim, temos 5 algarismos ímpares, então temos que 8.7.5 vai se repetir 5 vezes, ou seja, basta, multiplicar 8.7.5 por 5. O que nos dá 8.7.5.5
Assim, temos 4 pares, então temos que 8.7.4 vai se repetir 4 vezes, ou seja, basta, multiplicar 8.7.4 por 4. O que nos dá 8.7.4.4
Para o grupo de 10000
1 __ __ __ __ => não vamos precisar verificar para o grupo de 20000, pois esse é o nosso limite superior. O número precisa ser par, então na última posição teremos 5 possibilidades, os números 0, 2, 4, 6 e 8.
Como já temos um na primeira posição e um na última, na segunda posição só poderemos ter 8 possibilidades.
Na terceira, somente 7 possibilidades (pela mesma explicação acima).
Na quarta, somente 6 possibilidades (pela mesma explicação acima).
Assim, teremos: 8.7.6.5 números pares de 5 algarismos e que começam com 1.
Pronto, agora basta fazer as multiplicações e somá-las.
8.7.5.5 + 8.7.4.4 + 8.7.6.5 = 1400 + 896 + 1680 = 3976.
Então, existem 3976 números pares com algarismos distintos entre 1000 e 20000.
Espero ter ajudado.
Bons estudos.