Question

33) Determine no caderno a posição relativa entre os pares de retas de cada item.

a) - x + 3y = 2 e - 2x + 6y = - 10

b) 3x - 2y = 0 e y = 3/2x + 13

c) y = 5/3x + 8/3 e 53x + 33y + 1060 = 0

d) - 2x + 7y = 0 e - x - 3/2y = - 5

por favor alguém pode me ajudar ​

Answer 1

Determinando a posição relativa entre os pares de retas nos itens, temos que: a) são retas paralelas e distintas; b) são retas paralelas e distintas; c) são retas concorrentes; d) são retas concorrentes. Agora acompanhe a resolução:

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Quando temos duas retas compartilhando o mesmo plano, elas formam um relacionamento, e essa relação existente entre elas é chamada de posição relativa entre retas. Podemos defini-las como: paralelas e distintas, se não tiverem pontos em comum; concorrentes, se formarem um só ponto de interseção, ou ainda perpendiculares, que são retas concorrentes mas que formam o ângulo reto em sua interseção; ou coincidentes, se tiverem todos os pontos em comum.  

Neste exercício desejamos determinar a posição relativa entre os pares de retas, com suas equações em mãos. A fim de representar o que vamos fazer, consideremos as retas ''r'' e ''s'' que compartilham o mesmo plano, de equações r : aᵣx + bᵣy = cᵣ e s : aₛx + bₛy = cₛ, com aₛ , bₛ e cₛ reais não nulos, elas serão:

                           $\\\begin{array}{l}\bullet\ \ \sf\boldsymbol{\sf Paralelas\ e\ distintas}\ se\:\!,\:\! e\ s\acute{o}\ se\:\!,\,\boldsymbol{\sf \dfrac{a_r}{a_s}=\dfrac{b_r}{b_s}\neq\dfrac{c_r}{c_s}}\\\\\bullet\ \ \sf\boldsymbol{\sf Concorrentes}\ se\:\!,\:\! e\ s\acute{o}\ se\:\!,\,\boldsymbol{\sf \dfrac{a_r}{a_s}\neq\dfrac{b_r}{b_s}}\\\\\bullet\ \ \sf\boldsymbol{\sf Coincidentes}\ se\:\!,\:\! e\ s\acute{o}\ se\:\!,\,\boldsymbol{\sf \dfrac{a_r}{a_s}=\dfrac{b_r}{b_s}=\dfrac{c_r}{c_s}}\end{array}$

                           

Ou ainda, em linguagem matemática:

                                    $\\\begin{array}{l}\bullet\ \ \, \sf \boldsymbol{\sf r\cap s=\varnothing}\ \ \iff\ \ \boldsymbol{\sf \dfrac{a_r}{a_s}=\dfrac{b_r}{b_s}\neq\dfrac{c_r}{c_s}}\\\\\bullet\ \ \, \sf \boldsymbol{\sf r}\ X\ \boldsymbol{\sf s}\ \ \iff\ \ \boldsymbol{\sf \dfrac{a_r}{a_s}\neq\dfrac{b_r}{b_s}}\\\\\bullet\ \ \, \sf \boldsymbol{\sf r\equiv s}\ \ \iff\ \ \boldsymbol{\sf \dfrac{a_r}{a_s}=\dfrac{b_r}{b_s}=\dfrac{c_r}{c_s}}\end{array}$

                                 

Agora falando sobre a perpendicularidade de duas retas, tomando ''r'' e ''s'' sendo não verticais, são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a – 1. Matematicamente:

                                         $\\\begin{array}{l}\bullet\ \ \, \sf\boldsymbol{\sf r\ \bot\ s}\ \ \,\iff\ \ \,\boldsymbol{\sf m_r\cdot m_s=-\,1}\end{array}$

Também é possível descrever isso usando qualquer uma das seguintes equivalências:

                                        $\\\text{ \sf\boldsymbol{\sf r\ \bot\ s}\ \ \,\iff\ \ \,\begin{cases}\boldsymbol{\sf m_r\cdot m_s=-\,1}\\\\ \boldsymbol{\qquad\sf \Updownarrow}\\\\ \boldsymbol{\sf m_r=-\dfrac{1}{m_s}}\\\\ \boldsymbol{\qquad\sf \Updownarrow}\\\\\boldsymbol{\sf m_s=-\dfrac{1}{m_r}}\end{cases} }$        

Agora vamos solucionar o exercício (obs.: vou nomear as retas em cada item como ''r'' e ''s''):

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a) r : – x + 3y = 2 e s : – 2x + 6y = – 10

Essas retas são paralelas e distintas, pois:

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{a_r}{a_s}=\dfrac{b_r}{b_s}\neq\dfrac{c_r}{c_s}\\\\\sf\dfrac{-\,1~}{-\,2~}=\dfrac{3}{6}\neq\dfrac{~2}{-\,10~}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\neq-\dfrac{1}{5}}}~~\checkmark\end{array}$

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b) r : 3x – 2y = 0 e s : y = 3/2 x + 13

Passando a reta ''s'' para a forma aₛx + bₛy = cₛ:

$\begin{array}{l}\sf s:y=\dfrac{3}{2}x+13\\\\\sf s:2y=3x+26\\\\\sf s:-\,3x+2y=26\end{array}$

, temos que essas retas são paralelas e distintas, pois:

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{a_r}{a_s}=\dfrac{b_r}{b_s}\neq\dfrac{c_r}{c_s}\\\\\sf\dfrac{3}{-\,3~~}=\dfrac{-\,2~~}{2}\neq\dfrac{0}{26}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf-\,1=-\,1\neq0}}~~\checkmark\end{array}$

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c) r : y = 5/3 x + 8/3 e s : 53x + 33y + 1060 = 0

Passando a reta ''r'' para a forma aᵣx + bᵣy = cᵣ

$\begin{array}{l}\sf r:y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{8}{3}\\\\\sf r:3y=5x+8\\\\\sf r:-\,5x+3y=8\end{array}$

, temos que essas retas são concorrentes, pois:

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{a_r}{a_s}\neq\dfrac{b_r}{b_s}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf\dfrac{-\,5~~}{53}\neq\dfrac{3}{33}}}~~\checkmark\end{array}$

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d) r : – 2x + 7y = 0 e s : – x – 3/2y = – 5

Essas retas são concorrentes, pois:

$\begin{array}{l}\sf\dfrac{a_r}{a_s}\neq\dfrac{b_r}{b_s}\\\\\sf\dfrac{-\,2~~}{-\,1~~}\neq\dfrac{7}{-\dfrac{3}{2}~~}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf2\neq-\dfrac{14}{3}\end{array}}}~~\checkmark\end{array}$

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

Nota: Não tivemos casos de retas perpendiculares entre si, ou de retas coincidentes. Mas tudo o que explicado aqui sobre elas, guarde para você solucionar exercícios futuros.