Question

31 Determine a taxa média de variação das seguintes
funções do 1º grau
c) h(x) X + 2
a) f(x) 4x +
2
b) g(x) = 3
d) i(x) = 4 - X​

Answer 1

a) f(x) = 4x + 2 tem taxa média de variação igual a 4

b) g(x) = 3 tem taxa média de variação igual a 0

c) h(x) = x + 2 tem taxa média de variação igual a 1

d) g(x) = 4 - x tem taxa média de variação igual a -1

A taxa de variação é um conceito que está associado com a derivada primeira de uma função, o que é ensinado em cursos superiores na disciplina de "Cálculo de uma única variável" (ou "Calculo 1").

A equação que dá a taxa de variação de uma função é conhecida como o limite:

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Neste limite, fazemos h ir para muito perto de zero. Só que isso faz aparecer uma "divisão por zero". portanto é preciso examinar com muito cuidado.

Vamos trabalhar alguns exemplos.

Para a função  f(x) = 4x + 2:

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{4(x+h) + 2 - 4(x) + 2}{h}$

Observe que onde tem f(x+h) nós trocamos todas as variáveis x por x+h.

Agora vamos somar os termos que vão se cancelar:

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{4x-4x+4h + 2 - 2}{h}$

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{4h}{h}$

Por fim, repare que o h do numerado se cancela com o h do denominador:

$\dfrac{4h}{h}= 4$

Desta forma podemos aplicar o limite (não temos mais o problema de dividir por zero!)

$a = lim_{h\arrow0}4$

$a = 4$

Vamos examinar a letra c) h(x) = x + 2

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{(x+h) + 2 - (x) + 2}{h}$

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{(h}{h}$

$a = 1$

Por fim, vamos ver a letra b) g(x) = 3 que é uma função constante.

É importante perceber que na função constante, g(x+h) = g(x) = 3

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{0 + 2 - 0 + 2}{h}$

$a = lim_{h\arrow0}\dfrac{0}{h}$

Outro detalhe importante sobre o limite é que ele leva o valor de h para muito perto de zero, mas h nunca será de fato zero.

Mas como o numerador (em cima) é de fato zero, vamos ter algo como:

$\dfrac{0}{h}<\dfrac{0}{0,0000000000001}<\dfrac{0}{0,00000000001}<\dfrac{0}{0,001}=0$

Observe que o h pode assumir qualquer um dos valores no denominador. Além disso o objetivo é fazer "h ir para zero".