Question

302- IFBA
Uma mãe passeava com seus três filhos no parque quan
do foi abordada por uma senhora.
-Que menino lindo! Quais as idades deles?
A mãe respondeu, bem humorada:
-As idades deles formam uma progressão aritmética e
somam 18 anos.
A senhora disse:
- Ainda não dá para saber a idade de cada um.
A mãe disse:
-Se subtrair 2 anos da idade do menino do meio e do
mais velho, então as très idades passam a constituir uma pro-
gressão geométrica.
A senhora então respondeu:
Já sei a idade de cada um deles e vou lhe dizer o pro-
duto delas.
E cochichou a resposta no ouvido da mãe que excla-
mou admirada:
-A senhora acertou!
Com base no diálogo, é correto afirmar que a resposta co-
chichada no ouvido da mãe foi
a. 28
b. 48
c. 120
d. 162
e. 168
c. 12
d. 13
e. 15

Answer 1

Resposta:

Alternativa correta - Letra C (120)

Explicação passo a passo:

Primeiramente vamos nomear cada uma das idades para facilitar na hora da conta, o irmão mais novo terá sua idade representada por "x", o irmão do meio terá sua idade representada por "y" e o irmão mais velho terá sua idade representada por "z"...

Sabendo disso, vamos montar as equações que representam a progressão aritmética e a soma das idades desse caso...

y - x = z - y (Primeira equação)
x + y + z = 18 (Segunda equação)
Vamos isolar o "x" na primeira equação...
- x = z - 2y .(- 1)
x = 2y - z

Agora substituímos o valor de "x" na segunda equação...

(2y - z) + y + z = 18
2y - z + y + z = 18
3y = 18
y = 18 : 6
y = 6

Assim encontramos a idade do filho do meio, e podemos usá-la para substituir seu valor na progressão geométrica, veja...

Sabemos que se subtrairmos 2 anos da idade do filho do meio e 2 anos da idade do filho mais velho vamos obter uma progressão geométrica, assim...

$\frac{y - 2}{x} = \frac{z - 2}{y - 2}$

Substituímos então o valor de "y"...

$\frac{6 - 2}{x} = \frac{z - 2}{6 - 2}$

$\frac{4}{x} = \frac{z - 2}{4}$

Podemos multiplicar cruzado...

x(z - 2) = 4 . 4

xz - 2x = 16 (Terceira equação)

Agora vamos voltar na soma das idades originais...

x + y + z = 18

Já sabemos o valor de "y", então subtituímos...

x + 6 + z = 18
x + z = 18 - 6
x + z = 12

Vamos isolar o "x" dessa vez...

x = 12 - z

Agora podemos substituir seu valor na terceira equação...

xz - 2x = 16 (Quarta equação)
(12 - z)z - 2(12 - z) = 16
12z - z² - 24 + 2z = 16
- z² + 14z - 24 - 16 = 0 .(- 1)
z² - 14z + 40 = 0

Agora usamos a fórmula de Bháskara...

Δ = b² - 4ac
Δ = (- 14)² - 4 . 1 . 40
Δ = 196 - 160
Δ = 36

Subtituímos na fórmula...

z = (- b ± √Δ) : 2a
z = (- (- 14) ± √36) : 2.1
z = (14 ± 6) : 2
z' = (14 + 6) : 2 = 20 : 2 = 10
z" = (14 - 6) : 2 = 8 : 2 = 4

Como nós nomeamos, o irmão cuja idade é representada pela letra "z" é o mais velho, portanto tem que ter a idade maior que 6 (idade do irmão do meio), então o 4 (z") que encontramos não deve ser considerado...

Chegamos à conclusão que a idade do irmão mais velho é igual a 10 (z')...

Agora subtituímos na quarta equação...

xz - 2x = 16
10x - 2x = 16
8x = 16
x = 16 : 8
x = 2

Então concluímos que a idade do irmão mais novo é igual a 2...

Agora, para a resolução do exercício, que pede o produto entre as idades, basta multiplicar "x", "y" e "z"...

x . y . z = 2 . 6 . 10 = 120

Desculpa pelo tamanho da resolução, deve ter uma forma mais simples de resolver, mas essa foi a primeira que eu pensei...

Espero ter ajudado, bons estudos!!!