Question

(30 PONTOS) Verifique que vale a seguinte identidade:
.
$\dfrac{\sec(a)\cdot \sec(b)}{\sec(a-b)}=1+\mathrm{tg}(a)\cdot \mathrm{tg}(b)$

com as devidas restrições para a secante e a tangente.

Answer 1

Da fórmula da tangente da soma de arcos, tem-se que

$tg(a-b)=\dfrac{t(a)-tg(b)}{1+tg(a)\cdot tg(b)}$

Se $tg(a)\cdot tg(b)\neq-1$, então:

$tg(a-b)\cdot[1+tg(a)\cdot tg(b)]=tg(a)-tg(b)$

Agora, se $tg(a-b)\neq0$. temos

$1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{tg(a)-tg(b)}{tg(a-b)}\\\\\\1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{[\frac{sen(a)}{cos(a)}]-[\frac{sen(b)}{cos(b)}]}{[\frac{sen(a-b)}{cos(a-b)}]}\\\\\\1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{[\frac{sen(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}]-[\frac{sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)}]}{[\frac{sen(a-b)}{cos(a-b)}]}\\\\\\1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{[\frac{sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)}]}{[\frac{sen(a-b)}{cos(a-b)}]}$

Mas, $sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)=sen(a-b)$, então:

$1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{[\frac{sen(a-b)}{cos(a)cos(b)}]}{[\frac{sen(a-b)}{cos(a-b)}]}\\\\\\1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{sen(a-b)}{cos(a)\cdot cos(b)}\cdot\dfrac{cos(a-b)}{sen(a-b)}$

Como fizemos $tg(a-b)=\dfrac{sen(a-b)}{cos(a-b)}\neq0$, então $sen(a-b)\neq0$, logo:

$1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{cos(a-b)}{cos(a)\cdot cos(b)}\\\\\\1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{1}{cos(a)}\cdot\dfrac{1}{cos(b)}\cdot\dfrac{1}{[\frac{1}{cos(a-b)}]}\\\\\\1+tg(a)\cdot tg(b)=sec(a)\cdot sec(b)\cdot\dfrac{1}{sec(a-b)}\\\\\\\boxed{\boxed{1+tg(a)\cdot tg(b)=\dfrac{sec(a)\cdot sec(b)}{sec(a-b)}}}$

A igualdade é verdadeira para $tg(a-b)\neq0,~tg(a)\cdot tg(b)\neq-1$

Answer 2

sec(a).sec(b)]/[sec(a-b)] =

[(1/cosa).(1/cosb)]/[1/cos(a-b)], conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda.

[cos(a-b)]/[cosa.cosb]=

[cosa.cosb+sena.senb]/[cosa.cosb]

[cosa.cosb]/[cosa.cosb] + [sena.senb]/[cosa.cosb]

1+ [sena.senb]/[cosa.cosb]

1+ [sena/cosa.senb/cosb]

1+ tga.tgb

Eu gosto das suas questões. Tinha uma questão sua que eu respondi de forma um pouco incompleta para não perdê-la de vista para alguns minutos depois melhorar a resposta. Aí veio alguém, que não sei quem foi, e excluiu minha resposta sem muita base sólida. Tem uns engraçadinhos aqui que ficam se intrometendo em coisa que não é da conta dele sem conhecer a verdadeira intenção de quem está tentando ajudar.