Question

30 PONTOS, URGENTE!!! O polinômio x4 - 12x3 + 47x2 + mx +n e divisível por
x2 - 7x + 6. Determine o quociente desta divisão
I. q(x) =x2 - 5x+6
ll. q(x) = x2 - 5x -6
Ill.q(x) = x2 +5x+6
IV. q(x) = x2 +5x -6
V. q(x) =x2 - 6x +5
A sentença que corresponde a resposta correta e:
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V

Answer 1

Resposta:

$Alternativa\ a\ -\ I$

Explicação passo a passo: Primeiramente vamos descobrir as raizes do polinômio divisor (denominador), depois vamos substituir esse valores no polinômio que será dividido (numerador) montando um sistema,  então vamos resolver esse sistema encontrando o valor de m e n. Por último fazemos a divisão e descobrimos a resposta desejada, segue a solução.

$Numerador=N(x)=x^4-12x^3+47x^2+mx+n\\\\Denominador=D(x)=x^2-7x+6\\\\\\Raizes\ de\ D(x):\\\\x^2-7x+6=0\\\\(x-1)(x-6)=0\\\\\\x-1=0:x=1\\\\x-6=0:x=6\\\\\\Substituindo\ em\ N(x):\\\\N(1)=1^4-12(1)^3+47(1)^2+m(1)+n\\\\N(1)=1-12+47+m+n\\\\N(1)=m+n+36\\\\\\N(6)=6^4-12(6)^3+47(6)^2+6m+n\\\\N(6)=1.296-2.592+1.692+6m+n\\\\N(6)=6m+n+396$

$O\ sistema\ fica:\\\\\left\{\begin{array}{ccc}m+n+36=0\ =>\ m+n=-36\ (i)\\6m+n+396=0\ =>\ 6m+n=-396\ (ii)\\\end{array}\right$

$Subtraindo\ (i)\ e\ (ii):\\\\(m+n)-(6m-n)=-36-(-396)\\\\-5m=360\\\\-m=\frac{360}{5}\\\\-m=72\\\\m=-72\\\\\\Substituindo\ em\ (i) temos:\\\\-72+n=-36\\\\n=-36+72\\\\n=36$

$Portanto,\ N(x)=x^4-12x^3+47x^2-72x+36\\\\Fazendo\ \frac{N(x)}{D(x)}\ temos:\\\\\\\left\begin{array}{ccc}x^4-12x^3+47x^2-72x+36\\-x^4+7x^3-6x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\-------------\\0-5x^3+41x^2-72x+36\\0+5x^3-35x^2+30x+0\\------------\\0+0+6x^2-42x+36\\0+0-6x^2+42x-36\\-------------\\0\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}x^2-7x+6\\------\\x^2-5x+6\end{array}\right$

$Q(x)=x^2-5x+6$