Question

(30 PONTOS) Mostre que a função $f:D_{f}\to\mathbb{R}$ é injetora, sem usar derivadas:
$~$
$f(x)=\dfrac{x-5}{2x+1}$

com $D_{f}=\mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2}\right\}$
$~$

Answer 1

f : Df → R é injetora se, e somente se, elementos distintos de Df têm imagens distintas em R. Se a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b).

f(a) = (a - 5)/(2a + 1)
f(b) = (b - 5)/(2b + 1)

Vamos supor que f(a) = f(b):

(a - 5)/(2a + 1) = (b - 5)/(2b + 1)
(a - 5)(2b + 1) = (b - 5)(2a + 1)
2ab - 10b + a - 5 = 2ab - 10a + b - 5
10a + a = 10b + b
11a = 11b
a = b

Como a ≠ b, obrigatoriamente f(a) ≠ f(b) e, portanto, f é injetora.