Question

(30 PONTOS) Mostrar que, para todo $x\geq 0,$ sempre temos

$0\leq \mathrm{arc\,tg\,}(x)\leq x.$

Answer 1

O enunciado te dá 2 funções pra você limitar inferiormente e superiormente a função arctg(x).
f(x) = 0 ⇒ limite inferior
g(x) = x ⇒ limite superior
x ≥ 0.
Todas as funções envolvidas partem da origem, portanto se você quiser saber os limites basta saber quem varia mais, isso quer dizer analisar suas derivadas. Se todas partem do mesmo ponto.

$0 \leq \arctan(x) \leq x\\ \dfrac{d(0)}{dx} \leq \dfrac{d(\arctan(x))}{dx} \leq \dfrac{d(x)}{dx}\\ 0 \leq \dfrac{1}{1+x^2} \leq 1$

Partimos da igualdade que ele deu, mas vamos ignorar o que ele deu, supondo que não sabíamos o que limitava a arctg(x) e x ≥ 0.
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{1+x^2} = 0 = \dfrac{d(0)}{dx}$
Limite inferior.

$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{1+x^2}=1 = \dfrac{d(x)}{dx}$
Limite superior.
Isso quer mesmo dizer que a sua derivada varia de 0 a 1, consequentemente, sua primitiva também varia conforme esse intervalos.

$0 \leq \dfrac{1}{1+x^2} \leq 1$

$0 \leq \arctan(x) \leq x$