Question

30 PONTOS! Escreva a altura da torre (H) em função de alfa, beta e h (pergunta de cálculo 1, engenharia)
A resposta está no canto superior esquerdo, gostaria da resolução + explicação. Obrigada!

Answer 1

          A
        /  |   \
   y  /   |     \  z
     /     | x     \
   /_n__|__m __\
C        B          D
--------------------------
           H

H = Base do triângulo (Altura da torre)
H = m + n
x = h (altura do cone)


Usando Pitágoras no triângulo retângulo ABC:

z² = n² + x² 

z² = n² + h²    (I)


Usando Pitágoras no triângulo retângulo ABD:

y² = m² + x² 

y² = m² + h²  

h² = y² - m²    (II)


Só que:

H = m + n

n = H - m


Então:

n² = (H - m)²
n² = H² - 2Hm + m²    (III)


Substituindo (II) e (III) em (I), temos:

z² = n² + h²

z² = H² - 2Hm + m² + y² - m²

z² = H² + y² - 2Hm

2Hm = H² + y² - z²

m = $\frac{H^{2} \ + \ y^{2} \ - \ z^{2}}{2H}$


Substituindo m em (II), temos:

h² = y² - m²

h² = y² - ($\frac{H^{2} \ + \ y^{2} \ - \ z^{2}}{2H}$)²

h² = y² - $\frac{(H^{2} \ + \ y^{2} \ - \ z^{2}) \ . \ (H^{2} \ + \ y^{2} \ - \ z^{2})}{4H^{2}}$


Tirando o MMC:

h² = $\frac{4y^{2}H^{2} \ - \ (H^{2} \ + \ y^{2} \ - \ z^{2}) \ . \ (H^{2} \ + \ y^{2} \ - \ z^{2})}{4H^{2}}$

Reescrevendo o numerador:

h² = $\frac{(2yH \ - \ H^{2} \ - \ y^{2} \ + \ z^{2}) \ . \ (2yH \ + \ H^{2} \ + \ y^{2} \ - \ z^{2})}{4H^{2}}$

h² = $\frac{(y \ + \ H \ +\ z) \ . \ (y \ - \ H \ + \ z) \ . \ (y \ + \ H \ - \ z) \ . \ (- y \ + \ H \ + \ z)}{4H^{2}}$



Como:

y + H + z = Perímetro do triângulo


Temos:

y + H + z = P
y - H + z = P - H = y + z
y + H - z = P - z = y + H
-y + H + z = P - y = H + z


Substituindo:


h² = $\frac{P \ . \ (P - H) \ . \ (P - z) \ . \ (P - y)}{4H^{2}}$

h = $\sqrt{\frac{P \ . \ (P - H) \ . \ (P - z) \ . \ (P - y)}{4H^{2}}}$

h = $\frac{1}{2H} \ . \ \sqrt{P \ . \ (P - H) \ . \ (P - z) \ . \ (P - y)}$



tg α = $\frac{n}{h}$

h . tg α = n


tg β = $\frac{m}{h}$

tg β = m/h

h . tg β = m


m + n = H = h . tg α + h . tg β


Colocando h em evidência:

H = h (tg α + tg β)