Question

30 pontos

Esboce o grafico das funções dando seu dominio, imagem, periodo e amplitude:
a) y=3sen(x)+5
b) y=1 - 5sen(x)
c) y=2 - 3cos x

Answer 1

Os esboços dos gráficos seguem em anexo.


a) $y=3\,\mathrm{sen}(x)+5$

Não há restrições para os valores que $x$ possa assumir. Então o domínio da função são todos os reais:

$D=\mathbb{R}$


Sabemos que

$-1\le \mathrm{sen}x\le 1\\\\ -3\le 3\,\mathrm{sen}(x)\le 3\\\\ -3+5\le 3\,\mathrm{sen}(x)+5\le 3+5\\\\ 2\le 3\,\mathrm{sen}(x)+5\le 8\\\\ 2\le y\le 8$


O conjunto imagem é o intervalo [2, 8].


O período é o mesmo da função "seno de x": $T=2\pi.$

A amplitude é o coeficiente que multiplica o seno (em módulo): $A=3.$


Para esboçar o gráfico, basta calcular o valor da função em algums pontos:


• Para $x=0,$

$y=3\,\mathrm{sen\,}0+5\\\\ y=3\cdot 0+5\\\\ y=5$


• Para $x=\dfrac{\pi}{2},$

$y=3\,\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{2}+5\\\\ y=3\cdot 1+5\\\\ y=8$


• Para $x=\pi,$

$y=3\,\mathrm{sen\,}\pi+5\\\\ y=3\cdot 0+5\\\\ y=5$


• Para $x=\dfrac{3\pi}{2},$

$y=3\,\mathrm{sen\,}\dfrac{3\pi}{2}+5\\\\ y=3\cdot (-1)+5\\\\ y=2$


• Para $x=2\pi,$

$y=3\,\mathrm{sen\,}2\pi+5\\\\ y=3\cdot 0+5\\\\ y=5$

_______

b) $y=1-5\,\mathrm{sen}(x)$

Não há restrições para os valores que $x$ possa assumir. Então o domínio da função são todos os reais:

$D=\mathbb{R}$


Sabemos que

$-1\le \mathrm{sen}x\le 1\\\\ -5\le 5\,\mathrm{sen}(x)\le 5\\\\ 5\ge -5\,\mathrm{sen}(x)\ge -5\\\\ -5\le -5\,\mathrm{sen}(x)\le 5\\\\1-5\le 1-5\,\mathrm{sen}(x)\le 1+5\\\\ -4\le 1-5\,\mathrm{sen}(x)\le 6\\\\ -4\le y\le 6$


O conjunto imagem é o intervalo [–4, 6].


O período é o mesmo da função "seno de x": $T=2\pi.$

A amplitude é o coeficiente que multiplica o seno (em módulo): $A=3.$


Para esboçar o gráfico, calculamos o valor da função em algums pontos:

• Para $x=0,$

$y=1-5\,\mathrm{sen\,}0\\\\ y=1-5\cdot 0\\\\ y=1$


• Para $x=\dfrac{\pi}{2},$

$y=1-5\,\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{2}=1-5\cdot 1=-4$


• Para $x=\pi,$

$y=1-5\mathrm{sen\,}\pi\\\\ y=1-5\cdot 0\\\\ y=1$


• Para $x=\dfrac{3\pi}{2},$

$y=1-5\,\mathrm{sen\,}\dfrac{3\pi}{2}=1-5\cdot(-1)=6$


• Para $x=2\pi,$

$y=1-5\,\mathrm{sen\,}2\pi=1-5\cdot 0=1$


_______

c) $y=2-3\cos(x)$

Não há restrições para os valores que $x$ possa assumir. Então o domínio da função são todos os reais:

$D=\mathbb{R}$


Sabemos que

$-1\le \cos(x)\le 1\\\\ -3\le 3\cos(x)\le 3\\\\ 3\ge -3\cos(x)\ge -3\\\\ -3\le -3\cos(x)\le 3\\\\2-3\le 2-3\cos(x)\le 2+3\\\\ -1\le 2-3\cos(x)\le 5\\\\ -1\le y\le 5$


O conjunto imagem é o intervalo [–1, 5].


O período é o mesmo da função "cosseno de x": $T=2\pi.$

A amplitude é o coeficiente que multiplica o cosseno (em módulo): $A=3.$


Para esboçar o gráfico, calculamos o valor da função em algums pontos:

• Para $x=0,$

$y=2-3\cos 0\\\\ y=2-3\cdot 1\\\\ y=-1$


• Para $x=\dfrac{\pi}{2},$

$y=2-3\cos \dfrac{\pi}{2}\\\\ y=2-3\cdot 0\\\\ 2$


• Para $x=\pi,$

$y=2-3\cos \pi\\\\ 2-3\cdot(-1)\\\\ y=5$


• Para $x=\dfrac{3\pi}{2},$

$y=2-3\cos \dfrac{3\pi}{2}\\\\ y=2-3\cdot 0\\\\ y=2$


• Para $x=2\pi,$

$y=2-3\cos 2\pi\\\\ y=2-3\cdot 1\\\\ y=2$


Bons estudos! :-)