Question

(30 PONTOS) Determinar para quais valores de $\theta$ é verdadeira a igualdade
$2\theta=\mathrm{arcsen}(\mathrm{sen\,2\theta})$
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Dica: o conjunto imagem da função arco-seno é o intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2} \right ]$, ou seja, a função arco-seno só pode assumir valores neste intervalo.
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Resposta: $-\dfrac{\pi}{4}\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{4}$

Answer 1

$Ol\acute{a} \\ \\ Sejam~as~func\tilde{o}es:\begin{cases}f(x)=2x \\ \\ \\ g(x)=arcosen(sen2x)\end{cases} \\ \\ Aparente~mente~s\tilde{a}o~iguais, pero~vemos~onde~\acute{e}~diferenciavel~a \\ func\tilde{a}o~''g'' \\ \\ g(x)=arcosen(sen2x) \\ \\ g'(x)= \frac{(sen2x)'}{ \sqrt{1-(sen2x) ^{2} } } \\ \\ g'(x)= \frac{2cos2x}{ \sqrt{1-sen ^{2}2x } }$

$g'(x)= \frac{2cos2x}{|cos2x|} \\ \\ g(x)=2sing(cos2x) \\ \\ Aqui~vemos~sim: \\ cos2x\ \textgreater \ 0==\ \textgreater \ 2x\in(- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2})==\ \textgreater \ x\in( \frac{ \pi }{4} , \frac{ -\pi }{2} ) \\ \\ Ent\tilde{a}o~as~derivadas~de ~''f''~~e~~''g''~s\tilde{a}o~as~mesmas,no~outro~caso~s\tilde{a}o~ \\ diferentes~(opostos~aditivamente)~e~como~''f''~e~''g''~s\tilde{a}o~continuas \\ em~x=\pm \frac{ \pi }{4} ~ent\tilde{a}o~a~igualdade~\acute{e}~valida~para: \\ \\ ~x\in(- \frac{ \pi }{4} , \frac{ \pi }{4} )$

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                         Espero ter  ajudado!!