Question

(30 PONTOS) Calcule a integral definida:
$~$
$\displaystyle\int\limits_{1}^{4e-1}{\mathrm{\ell n}\!\left(2e-\left|x-2e\right|\right)dx}$
__________________________

Sugestão: Utilize a simetria da função do integrando para simplificar os cálculos.
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Answer 1

$f(x)=ln(2e-|x-2e|)$

Considere $\delta\in(-2e,2e)$

Avaliando f(2e - δ):

$f(2e-\delta)=ln(2e-|2e-\delta-2e|)=ln(2e-|-\delta|)=ln(2e-|\delta|)$

Avaliando f(2e + δ):

$f(2e+\delta)=ln(2e-|2e+\delta-2e|)=ln(2e-|\delta|)$
__________________________

OBS: Motivo de δ precisar pertencer ao intervalo (-2e, 2e)

Veja que temos $f(x_{0}\pm\delta)=ln(2e-|\delta|)$

Por definição de logaritmo, devemos ter logaritmando positivo, então

$2e-|\delta|~\textgreater~0~\longrightarrow~-|\delta|~\textgreater-2e~\longrightarrow~|\delta|~\textless~2e\\\\\boxed{\boxed{-2e~\textless~\delta~\textless~2e}}$
__________________________

Temos, então, $f(2e-\delta)=f(2e+\delta)~\forall~\delta\in(-2e,2e)$, daí temos que o gráfico de f é simétrico em relação a x = 2e

Note também que

$f(1)=ln(2e-|1-2e|)=ln(2e-[-(1-2e)])=ln(1)=0$

e

$f(4e-1)=ln(2e-|4e-1-2e|)=ln(2e-|2e-1|)=ln(1)=0$

Ou seja, $f(1)=f(4e-1)=0$

Portanto, pela simetria de f, temos que

$I=\displaystyle\int\limits_{1}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dx=2\int\limits_{2e}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dx$

Mas, nessa integral, temos $x\ge2e~\longrightarrow~|x-2e|=x-2e$, então, a função fica na forma

$f(x)=ln(2e-|x-2e|)=ln(2e-(x-2e))=ln(4e-x)$

Então:

$I=\displaystyle\int_{1}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dx=2\int\limits_{2e}^{4e-1}ln(4e-x)dx$

Fazendo $u=4e-x~\longrightarrow~du=-dx~\longrightarrow~dx=-du$

Teremos

$\displaystyle\int ln(4e-x)dx=\int ln(u)(-1)du=-\int ln(u)du=-u[ln(u)-1]\\\\\\\int ln(4e-x)dx=-(x-4e)[ln(4e-x)-1]\\\\\\\boxed{\boxed{\int ln(4e-x)dx=(x-4e)[ln(4e-x)-1]}}$

(resultado obtido pela integração por partes)

$I=2\bigg[(x-4e)[ln(4e-x)-1]\bigg]_{2e}^{4e-1}$

$I=2(4e-1-4e)[ln(4e-[4e-1])-1]-2(2e-4e)[ln(4e-2e)-1]$

$I=-2[ln(1)-1]-2(-2e)[ln(2e)-1]\\\\\\I=2+4eln(2e)-4e\\\\\\I=(2-4e)+4e[ln(2)+ln(e)]\\\\\\I=(2-4e)+4eln(2)+4e$

Finalmente:

$\boxed{\boxed{\int\limits_{1}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dx=2+4eln(2)}}$

Answer 2

f(x)=ln(2e−∣x−2e∣)

Considere \delta\in(-2e,2e)δ∈(−2e,2e)

Avaliando f(2e - δ):

f(2e-\delta)=ln(2e-|2e-\delta-2e|)=ln(2e-|-\delta|)=ln(2e-|\delta|)f(2e−δ)=ln(2e−∣2e−δ−2e∣)=ln(2e−∣−δ∣)=ln(2e−∣δ∣)

Avaliando f(2e + δ):

f(2e+\delta)=ln(2e-|2e+\delta-2e|)=ln(2e-|\delta|)f(2e+δ)=ln(2e−∣2e+δ−2e∣)=ln(2e−∣δ∣)

__________________________

OBS: Motivo de δ precisar pertencer ao intervalo (-2e, 2e)

Veja que temos f(x_{0}\pm\delta)=ln(2e-|\delta|)f(x

0

±δ)=ln(2e−∣δ∣)

Por definição de logaritmo, devemos ter logaritmando positivo, então

\begin{lgathered}2e-|\delta|~\textgreater~0~\longrightarrow~-|\delta|~\textgreater-2e~\longrightarrow~|\delta|~\textless~2e\\\\\boxed{\boxed{-2e~\textless~\delta~\textless~2e}}\end{lgathered}

2e−∣δ∣ > 0 ⟶ −∣δ∣ >−2e ⟶ ∣δ∣ < 2e

−2e < δ < 2e

__________________________

Temos, então, f(2e-\delta)=f(2e+\delta)~\forall~\delta\in(-2e,2e)f(2e−δ)=f(2e+δ) ∀ δ∈(−2e,2e) , daí temos que o gráfico de f é simétrico em relação a x = 2e

Note também que

f(1)=ln(2e-|1-2e|)=ln(2e-[-(1-2e)])=ln(1)=0f(1)=ln(2e−∣1−2e∣)=ln(2e−[−(1−2e)])=ln(1)=0

e

f(4e-1)=ln(2e-|4e-1-2e|)=ln(2e-|2e-1|)=ln(1)=0f(4e−1)=ln(2e−∣4e−1−2e∣)=ln(2e−∣2e−1∣)=ln(1)=0

Ou seja, f(1)=f(4e-1)=0f(1)=f(4e−1)=0

Portanto, pela simetria de f, temos que

I=\displaystyle\int\limits_{1}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dx=2\int\limits_{2e}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dxI=

1

∫

4e−1

ln(2e−∣x−2e∣)dx=2

2e

∫

4e−1

ln(2e−∣x−2e∣)dx

Mas, nessa integral, temos x\ge2e~\longrightarrow~|x-2e|=x-2ex≥2e ⟶ ∣x−2e∣=x−2e , então, a função fica na forma

f(x)=ln(2e-|x-2e|)=ln(2e-(x-2e))=ln(4e-x)f(x)=ln(2e−∣x−2e∣)=ln(2e−(x−2e))=ln(4e−x)

Então:

I=\displaystyle\int_{1}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dx=2\int\limits_{2e}^{4e-1}ln(4e-x)dxI=∫

1

4e−1

ln(2e−∣x−2e∣)dx=2

2e

∫

4e−1

ln(4e−x)dx

Fazendo u=4e-x~\longrightarrow~du=-dx~\longrightarrow~dx=-duu=4e−x ⟶ du=−dx ⟶ dx=−du

Teremos

\begin{lgathered}\displaystyle\int ln(4e-x)dx=\int ln(u)(-1)du=-\int ln(u)du=-u[ln(u)-1]\\\\\\\int ln(4e-x)dx=-(x-4e)[ln(4e-x)-1]\\\\\\\boxed{\boxed{\int ln(4e-x)dx=(x-4e)[ln(4e-x)-1]}}\end{lgathered}

∫ln(4e−x)dx=∫ln(u)(−1)du=−∫ln(u)du=−u[ln(u)−1]

∫ln(4e−x)dx=−(x−4e)[ln(4e−x)−1]

∫ln(4e−x)dx=(x−4e)[ln(4e−x)−1]

(resultado obtido pela integração por partes)

I=2\bigg[(x-4e)[ln(4e-x)-1]\bigg]_{2e}^{4e-1}I=2[(x−4e)[ln(4e−x)−1]]

2e

4e−1

I=2(4e-1-4e)[ln(4e-[4e-1])-1]-2(2e-4e)[ln(4e-2e)-1]I=2(4e−1−4e)[ln(4e−[4e−1])−1]−2(2e−4e)[ln(4e−2e)−1]

\begin{lgathered}I=-2[ln(1)-1]-2(-2e)[ln(2e)-1]\\\\\\I=2+4eln(2e)-4e\\\\\\I=(2-4e)+4e[ln(2)+ln(e)]\\\\\\I=(2-4e)+4eln(2)+4e\end{lgathered}

I=−2[ln(1)−1]−2(−2e)[ln(2e)−1]

I=2+4eln(2e)−4e

I=(2−4e)+4e[ln(2)+ln(e)]

I=(2−4e)+4eln(2)+4e

Finalmente:

\boxed{\boxed{\int\limits_{1}^{4e-1}ln(2e-|x-2e|)dx=2+4eln(2)}}

1

∫

4e−1

ln(2e−∣x−2e∣)dx=2+4eln(2)