Question

(30 PONTOS) A questão a ser respondida encontra-se no final do texto desta tarefa, mas antes, vamos primeiro elaborar uma definição:


Seja $b_{n}$ uma sequência numérica $(n\in\mathbb{N})$ que pode ser escrita como a primeira diferença entre termos consecutivos de uma outra sequência numérica $B_{n}:$

$b_{n}=\Delta(B_{n})=B_{n+1}-B_{n}$

sendo $\Delta$ o operador primeira diferença posterior. Nestas condições, definimos que

$\bullet\;\;$ A sequência $B_{n}$ é uma anti-diferença para a sequência $b_{n}.$ Observe que se adicionarmos uma constante qualquer à sequência $B_{n},$ vamos obter uma nova sequência que também será uma anti-diferença para $b_{n}.$

$\bullet\;\;$ A seguinte expressão

$\displaystyle\sum{b_{n}}=B_{n}+C$

representa a soma indefinida para a sequência $b_{n},$ sendo $C$ uma constante indeterminada.
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Segue das definições acima, que a soma definida (com os limites do somatório estabelecidos) pode então ser computada apenas substituindo os limites em uma anti-diferença da sequência a ser somada:

$b_{n}=\Delta(B_{n})\;\;\Rightarrow\;\;\displaystyle\sum\limits_{n=N_{0}}^{{N}}{b_{n}}=\left.\displaystyle\sum{b_{n}}\;\right|_{N_{0}}^{N+1}\\ \\ \\ =\left.\displaystyle B_{n}\;\right|_{N_{0}}^{N+1}\\ \\ \\ =B_{N+1}-B_{N_{0}}$
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Exemplo: De acordo com as definições dadas vamos obter a seguinte soma indefinida:

$\displaystyle\sum{(2n+1)}$

Solução: Sabemos que $\Delta(n^{2})=(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1.$ Portanto,

$\displaystyle\sum{(2n+1)}=n^{2}+C\;\;\;\;\;\;(C \in \mathbb{R})$
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Questão: Utilizando o resultado do exemplo acima, compute a soma definida, apenas substituindo os limites do somatório:

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{50}{(2n+1)}$

Answer 1

Achei bem interessante os conceitos introduzidos. Cada vez se parece mais com o cálculo! :)

Usando o que foi dado, temos que

$\displaystyle\sum(2n+1)=n^{2}+C,~C\in\mathbb{R}$

Portanto:

$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{50}(2n+1)=\left\sum(2n+1)\right|_{0}^{50+1}\\\\\\\sum\limits_{n=0}^{50}(2n+1)=n^{2}+C\left\right|_{0}^{51}\\\\\\\sum\limits_{n=0}^{50}(2n+1)=(51^{2}+C)-(0^2+C)\\\\\\\sum\limits_{n=0}^{50}(2n+1)=51^{2}+C-C\\\\\\\boxed{\boxed{\sum\limits_{n=0}^{50}(2n+1)=51^{2}}}$