3) Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Caso afirmativo, determine o centro e o raio das circunferências seguintes:
a) x2 + y2 + 6x = 0
b) x2 + y2 = 9
c) x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0
d) x2 + 2y2 + 4x + 18y – 100 = 0
e) x2 + 3y2 – 4 = 0
f) x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0
Soluções para a tarefa
Nessa questão, utiliza-se a equação geral da circunferência.
A equação geral é representada por:
(x - a)² + (y - b)² = R²
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0
Assim, analisando as alternativas:
(A) x² + y² + 6x = 0
substituindo na equação geral, temos que -2a é igual a 6, porém essa equação não representa uma circunferência, uma vez não possui os valores equivalente a a².
(B) x² + y² = 9
substituindo na equação geral, uma vez não possui os valores equivalente a - 2ax - 2by, quer dizer que a e b são zero e que -9 é igual a - R². Então essa equação representa uma circunferência.
* Para encontrar o centro da circunferência, sabe-se que o ponto do centro é (a,b), então:
-2a = 0
a = 0
-2b = 0
b = 0
Então: C (0,0)
* Para encontrar o raio da circunferência:
a² + b² - R² = -9
0 + 0 - R² = -9
R² = 9
R = 3
(C) x² + y² + 4x – 10y + 20 = 0
substituindo na equação geral, temos que -2a é igual a 4, que -2b é igual a -10 e que 20 é igual a a² + b² - R². Assim, esta é uma equação que representa uma circunferência.
* Para encontrar o centro da circunferência, sabe-se que o ponto do centro é (a,b), então:
-2a = 4
a = -2
-2b = -10
b = 5
Então: C (-2,5)
* Para encontrar o raio da circunferência:
a² + b² - R² = 20
4 + 25 - R² = 20
R² = 9
R = 3
(D) x² + 2y² + 4x + 18y – 100 = 0
substituindo na equação geral, temos que -2a é igual a 4, que -2b é igual a 18 e que -100 é igual a a² + b² - R². Porém, na equação o termo y² é multiplicado por 2 e como não existe um valor para b, não teria como se adequar à equação geral. Assim, esta não é uma equação que representa uma circunferência.
(E) x² + 3y² – 4 = 0
substituindo na equação geral, temos que -4 é igual a a² + b² - R². Porém, na equação geral o termo y² é multiplicado por 3, além disso, como não existem os termos -2a e -2b, não tem como se adequar à equação geral. Assim, esta não é uma equação que representa uma circunferência.
(F) x² + y² + 4x – 4y – 17 = 0
substituindo na equação geral, temos que -2a é igual a 4, que -2b é igual a -4 e que -17 é igual a a² + b² - R². Assim, esta é uma equação que representa uma circunferência.
* Para encontrar o centro da circunferência, sabe-se que o ponto do centro é (a,b), então:
-2a = 4
a = -2
-2b = -4
b = 2
Então: C (-2,2)
* Para encontrar o raio da circunferência:
a² + b² - R² = -17
4 + 4 - R² = -17
R² = 25
R = 5
c: x² + y²+ 6x = 0 não seria uma circunferência pois o x não possui o quadrado perfeito?
quadrado perfeito p/x
(x+3)² = x² + 6x + 9
e o quadrado perfeito de y é
(y-0)² = y²
juntando os dois
x² + y² + 6x + 9 = 0
soma +9 do outro lado da igualdade
x² + y² + 6x + 9 = 9
não poderia cortar o +9 antes da igualdade com o 9 após a igualdade? fiquei na dúvida, pois assim ficaria x² + y² + 6x = 0
joguei essa equação no geogebra e lá ela forma uma circunferência.
quem puder tirar a minha dúvida, agradeço :)