Question

3. Verifique a posição relativa entre a circunferência λ= (x-3)2 + (y – 1)2 = 9 e as retas s: 4/3x – y + 2 = 0, t: -x + y + 2 = 0 e u: 3x + 4y + 7 = 0

Answer 1

Resposta:

Centro da circunferência é C(-1, 2) e raio = 1

Distância entre um ponto e uma reta é dada pela equação  

d > r = exterior

d = r = tangente

d < r = secante

Resposta: exterior

3 - 

x² + y² = 25 ← Equação de reta com centro na origem

Raio é igual a raiz de 25

r = √25

r = 5

d > r = exterior

d = r = tangente

d < r = secante

Resposta: secante

Answer 2

As retas s,t,u são:

• S: tangente
• T: secante
• U: externa

Posições relativas entre reta e circunferência:

Dada uma circunferência $\sf \lambda$, de centro C e raio de medida r, uma reta t pode ser tangente, secante ou externa a $\sf \lambda$.

• No caso em que t é tangente à circunferência, a distância d da reta t ao centro de $\sf \lambda$ é igual a medida do raio: d=r    

• No caso em que t é secante à circunferência, a distância d da reta t ao centro de $\sf \lambda$ é menor que a medida do raio: d<r  

• No caso em que t é externa à circunferência d da reta t ao centro de $\sf \lambda$ é maior que a medida do raio: d>r

Resolução

Temos que  $\sf \lambda$ é uma circunferência de centro O(3,1) e raio de medida $\sf r=\sqrt{9}=3$. Logo:

• Distância entre o centro de $\sf \lambda$ e a reta s:

$\sf \displaystyle \sf d=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2 +b^2} } = \frac{\left|\dfrac{4}{3}\cdot3+(-1)\cdot1+2\right| }{\sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+(-1)^2 } } =\frac{|4-1+2|}{\sqrt{\dfrac{16}{9}+1 } }=\frac{5}{\sqrt{\dfrac{25}{9} } } =\frac{5}{\dfrac{5}{3} } ~\large\boxed{\sf =3}$

Como d=r, temos que s é tangente à circunferência $\sf \lambda$.

• Distância entre o centro de $\sf \lambda$ e a reta t:

$\sf \displaystyle \sf d=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2 +b^2}} = \frac{|(-1)\cdot3+1\cdot1+2|}{\sqrt{(-1)^2+1^2} } =\frac{|-3+1+2|}{\sqrt{1+1} } =\frac{0}{\sqrt{2} } ~\large\boxed{\sf =0}$

• Note que a reta t passa pelo Centro da circunferência, pois d=0.

Como d<r, temos que t é secante à circunferência $\sf \lambda$.

• Distância entre o centro de $\sf \lambda$ e a reta u:

$\sf \displaystyle \sf d=\frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2 }} =\frac{|3\cdot3+4\cdot1+7|}{\sqrt{3^2+4^2} } =\frac{|9+4+7|}{\sqrt{1+1} } =\frac{20}{\sqrt{25} }=\frac{20}{5}~\large\boxed{\sf =4}$

Como d>r, temos que u é externa à circunferência $\sf \lambda$.

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