Question

3 - Utilizando a definição de logaritmo, determine o valor de x:
A - log21 1 = x
B - log9 x = 1
C-logx (1/256)= -4
D - log 0,1 = x

Answer 1

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⠀⠀☞ Pela definição de logaritmo temos que: a) x = 0; b) x = 9; c) x = 4; d) x = -1. ✅

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⚡ " -O que significa 'log'?"

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➡️⠀Log é a abreviação de logaritmo, que é a notação para a função logarítmica que opera com os expoentes de potências de forma que:

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm log_b(a) = c \iff b^c = a}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a }}$ sendo o logaritmando de tal forma que a > 0;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf b }}$ sendo a base de tal forma que b > 0 e b ≠ 1;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf c }}$ sendo o logaritmo.

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⠀⠀Sendo assim temos que:

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$\Huge\blue{\sf \red{A)}~\log_{21}(1) = x}$

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$\LARGE\blue{\sf 21^x = 1}$

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➡️⠀Lembrando que todo número elevado à zero é igual à 1 (com a exceção do  próprio zero) então:

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{ 0 }~~~}}$ ✅

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$\Huge\blue{\sf \red{B)}~\log_{9}(x) = 1}$

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$\LARGE\blue{\sf 9^1 = x}$

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➡️⠀Lembrando que todo número elevado à um é o próprio número então:

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{ 9 }~~~}}$ ✅

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$\huge\blue{\sf \red{C)}~\log_{x}\left(\dfrac{1}{256}\right) = -4}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf x^{-4} = \dfrac{1}{4^{4}} }}$

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➡️⠀Lembrando que toda divisão por uma potência pode ser reescrita como o produto pela mesma potência porém com o simétrico do expoente então:

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$\LARGE\blue{\sf x^{-4} = 4^{-4}}$

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$\LARGE\blue{\sf \log_{10}(x^{-4}) = \log_{10}(4^{-4})}$

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➡️⠀Lembrando também que:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm log_b(a^c) = c \cdot log_b(a)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\Large\blue{\sf (-4) \cdot \log_{10}(x) = (-4) \cdot \log_{10}(4)}$

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$\Large\blue{\text{ \sf \dfrac{(-\diagup\!\!\!\!{4}) \cdot \log_{10}(x)}{-\diagup\!\!\!\!{4}} = \dfrac{(-\diagup\!\!\!\!{4}) \cdot \log_{10}(4)}{-\diagup\!\!\!\!{4}} }}$

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$\LARGE\blue{\sf \log_{10}(x) = \log_{10}(4)}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf 10^{\log_{10}(x)} = 10^{\log_{10}(4)} }}$

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➡️⠀Por fim, lembrando também que:

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$\huge\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm a^{\log_a(b)} = b}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{ 4 }~~~}}$ ✅

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$\Huge\blue{\sf \red{D)}~\log(0,1) = 1}$

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➡️⠀Quando não temos indicado quem é a base então assumimos que ela seja 10:

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$\LARGE\blue{\sf~\log_{10}(0,1) = X}$

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$\LARGE\blue{\sf 10^x = 0,1}$

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$\LARGE\blue{\sf 10^x = \dfrac{1}{10^1}}$

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$\LARGE\blue{\sf 10^x = 10^{-1}}$

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➡️⠀Pela mesma manipulação algébrica feita no item anterior temos que:

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{x}~\pink{=}~\blue{ -1 }~~~}}$ ✅  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre potenciação e radiciação:

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

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$\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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