Question

3) Usando a definição, determine a base a na expressão loga 27 = 3​

Answer 1

Vamos começar lembrando a definição de logaritmo:

$\boxed{\sf \log_ab=c~~\Longleftrightarrow~~b~=~a^c}$

Aplicando a definição ao logaritmo dado, teremos:

$\sf \log_a27~=~3~~\Longleftrightarrow~~\boxed{\sf 27~=~a^3}$

Vamos resolver a equação exponencial achada acima.

Igualando os expoentes nos dois membros da equação:

$\sf 3^3~=~a^3$

Como os expoentes são iguais, para que a igualdade seja atendida as bases devem, necessariamente, ser iguais, portanto:

$\sf 3^{\not\,3}~=~a^{\not\,3}\\\\\boxed{\sf a~=~3}$

Ainda não terminou! Para garantirmos que a=3 seja a resposta, precisamos verificar se esta base atende às condições de existência do logaritmo (mostradas abaixo).

$\sf Para ~\log_ab,~temos~as~seguintes~condic\tilde{o}es~de~existencia:~~\left\{\begin{array}{ccc}\sf a&\sf >&\sf 0\\\sf a&\sf \ne&\sf 1\\\sf b&\sf >&\sf 0\end{array}\right.$

Como podemos perceber, a base a=3 calculada atende às condições de existência (base positiva e diferente de 1), logo temos que a resposta é, de fato, a=3.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$