Question

3 - Uma empresa de cosméticos fez um kit para vender especificamente
para o dia dos pais e utilizou uma embalagem no formato de um prisma de
base pentagonal conforme figura abaixo. Sabendo que esta embalagem
foi toda feita de um papelão especial e considerando que para fazer as
partes onde são feitas o fechamento será usado 10% a mais de papelão,
qual foi a quantidade de papelão gasto nesta embalagem?

Answer 1

Resposta: Serão gastos 340,3 cm² de papelão.

Explicação passo a passo:

1 . Explicação Teórica - Em suma, o que é necessário fazer para calcular essa quantidade de papelão é calcular a área superficial desse prisma, calculando a área de figuras geométricas conhecidas que formam esse prisma! Veja que esse prisma é formado por dois pentágonos iguais e cinco retângulos iguais, sendo que um desses pentágonos, que corresponde a área em que será feita o fechamento da caixa (pelo que pude entender, a tampa) será feito usando 10% a mais de papelão que às outras áreas. Em resumo, podemos encarar que a área de um dos pentágonos é 10% maior que a outra, para encaixar essa medida de 10% !

2. Explicação Prática - A área superficial total do prisma pode ser dada como:

$A_{s} = A_{pmaior} + A_{pmenor} + 5A_{r}$, sendo a área superficial a quantidade de papelão, em cm², que precisaremos usar, dada por As, Apmaior a área do pentágono que será usado para fechar a caixa, Apmenor a outra área do pentágono, usado na base e Ar a área de um dos retângulos nas laterais do prisma. Podemos assumir também que:

$A_{pmaior} = A_{pmenor} *1,1$, que em suma é a maneira matemática de dizer que a área do pentágono maior é 10% maior que a do pentágono menor.

Agora precisamos apenas calcular essas áreas. Para área dos retângulos:

$A_{r} = b*h$, sendo b a base e h a altura do retângulo. Substituindo os valores expostos na figura, temos:

$A_{r} = 5 * 10\\A_{r} = 50cm^2$

Para a área dos pentágonos, precisamos do valor do seu apótema, que é o segmento de reta que parte do centro do polígono até um ponto médio de um dos lados do polígono. Para o pentágono, esse valor pode ser calculado por:

$ap = \frac{L}{2*tan36}$, sendo L o tamanho do lado do pentágono.

Portanto, o apótema do nosso pentágono será:

$ap = \frac{5}{1,453} = 3,44cm$

Sabendo o valor aproximado desse valor, inserimos na fórmula da área de um pentágono, que é dada por:

$Ap = \frac{5*L*ap}{2}$

Substituindo os dados que temos, encontramos:

$A_{pmenor} = \frac{5*5*3,44}{2} =\frac{86}{2}\\A_{pmenor} = 43cm^2$

Com isso encontramos a área do pentágono maior:

$A_{pmaior} = 43 * 1,1\\A_{pmaior} = 47,3cm^2$

Encontramos todos os valores que estávamos precisando! Agora, substituímos todos eles na fórmula da área superficial:

$A_{s} = 47,3 + 43 + 5 * 50\\A_{s} = 340,3cm^2$

Isso nos dá a área superficial aproximada do nosso prisma e, consequentemente, a quantidade de papelão que será gasto para sua confecção! Espero ter ajudado!

Answer 2

A quantidade de papelão gasto nesta embalagem foi de 340,3 cm².

Esta questão é sobre cálculo de áreas. A área de uma figura ou região é definida como a extensão ocupada pela figura.

Para resolver a questão, precisamos calcular a área das faces do prisma. Este prisma possui duas faces pentagonais cujo lado mede 5 cm e cinco faces retangulares de dimensões 10 cm x 5 cm.

A área de cada pentágono é dada pela metade do produto entre a medida do perímetro e do apótema. Ao dividir o pentágono em 5 triângulos, a altura de cada triângulo será o apótema que divide o triângulo em dois triângulos retângulos com um ângulo de 36° oposto à metade do lado do pentágono. Através da função tangente, temos:

tan(36°) = 2,5/a

a = 3,44 cm

A área do pentágono é:

A = p·a/2

A = 5·5·3,44/2

A = 43 cm²

A área do pentágono com os 10% a mais para o fechamento:

A' = 43·1,1

A' = 47,3 cm²

A área total de papelão será dada por:

At = A + A' + 5·Ar

At = 43 + 47,3 + 5·(10·5)

At = 340,3 cm²

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