Question

3 - Um corpo é lançado obliquamente para cima com velocidade de 500m/s, sob um angulo de 30º com a horizontal, do alto de uma elevação de 487,5 metros de altura. Dados sen30º= 0,5, cos30º=0,8 e g=10m/s², determine: a) a altura máxima atingida em relação ao solo; b) o alcance

Answer 1

Primeiro vamos interpretar.

• A questão diz que um corpo foi lançado obliquamente para cima com uma velocidade de 500m/s sob um ângulo 30°, isso já nos diz que o vetor velocidade estará inclinado, ou seja, teremos que fazer a decomposição em uma componente no eixo "x" e outra no eixo "y", ela ainda fala que esse corpo não é lançado do chão (solo) e sim de uma elevação de 487,5m.

a)a altura máxima atingida em relação ao solo:

Para calcular a altura máxima, faremos da seguinte forma:

• 1) Cálculo do espaço final a partir da elevação de 487,5m;

• 2) Subtração da altura máxima alcançada a partir da elevação, pela altura da elevação, pois assim estaremos com a medida da altura em relação ao solo.

Antes de começar de fato a substituição na fórmula, vamos organizar o dados:

$\begin{cases} \sf y_0 = 487,5m \\ \sf v _0 = 500m/s \\ \sf v = 0m/s \\ \sf sen \theta = sen30 {}^{ \circ} \\ \sf cos \theta = cos30 {}^{ \circ} \\ \sf g = 10m/s {}^{2} \end{cases}$

• A velocidade final (v) é igual a 0m/s pelo simples motivo de que quando o corpo atinge a altura máxima ele entra em repouso e começa a cair.

Substituindo os dados na equação horária das posições para o MUV.

$\ast \: \sf y = y_0 + v_0sen \theta .t- \frac{1}{2} gt {}^{2}$

Mas se você notar, precisamos saber o valor do tempo, para isso vamos substituir os dados na equação horária das velocidades e assim descobrir o tempo para que o cálculo possa prosseguir.

$\ast \: \sf v = v_0sen \theta - gt \\ \sf 0 = 500.sen30 {}^{ \circ} - 10.t \\ \sf 0 = 500 \: . \: 0,5 - 10t \\ \sf 0 =250 - 10t \\ \sf - 250 = - 10t \\ \sf t = \frac{ - 250}{ - 10} \\ \boxed{ \sf t = 25s}$

Agora sim vamos substituir na eqc. horária das posições:

$\ast \: \sf y = y_0 + v_0sen \theta .t- \frac{1}{2} gt {}^{2} \\ \sf y = 487,5 + 500.sen30 {}^{ \circ} .25 - \frac{1}{2}.10.(25 ){}^{2} \\ \sf y = 487,5 + 500 \: . \: 0,5 \: . \: 25 - \frac{1}{2} .10.(25) {}^{2} \\ \sf y = 487,5 + 6250 - \frac{1}{2} .10.625 \\ \sf y = 487,5 + 6250 - \frac{6250}{2} \\ \sf y = 487,5 + 6250 - 3125 \\ \sf y = 6737,5 - 3125 \\ \boxed{\sf y = 3612,5m}$

Como eu disse, para achar a altura máxima em relação ao solo teremos que subtrair dessa altura a altura da elevação.

$\sf H_{m\acute{a}x} = y - H_{elev.} \\ \sf H_{m\acute{a}x} = 3612,5 - 487, 5 \\ \boxed{ \sf H_{m\acute{a}x} = 3125m}$

b) o alcance:

Como o alcance é horizontal, ou seja, a velocidade é constante podemos usar a equação horária das posições para o MU, onde a velocidade será dada pela componente (vx).

$\sf x = x_0 + v _0 cos \theta.t \\ \sf x = \underbrace{ 0 }_{parte \: do \: repouso} + 500.cos30 {}^{ \circ} .\underbrace{50}_{subida = descida} \\ \sf x = 500 \: . \: 0,8 \: . \: {50}\\ \sf x = 20000m$

Mas se atente ao fato de esse corpo está em uma elevação, portanto teremos que diminuir desse alcance a altura da elevação.

$\sf Alc = x - H_{elev.} \\\sf Alc = 20000 - 487,5 \\\sf \boxed{\sf Alc = 19512,5m }$

Espero ter ajudado