Question

3. Sejam a e b comprimento e a largura de um retângulo áureo. A divisão a/b é chamada proporção de ouro se:
.
​Use equação do segundo grau e obtenha um valor irracional para a proporção áurea a/b. Apresente a resolução completa.

Answer 1

Pela definição de número de ouro, temos a seguinte solução:

$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=1,618....$

Número de ouro

Vamos supor um segmento de reta AB cuja medida é unitária. Podemos fazer a seguinte pergunta: "De quantas maneiras é possível dividir esse segmento?" Vamos supor um ponto C que pode assumir infinitas posições e assim dividir o segmento AB de diferentes formas.

Existe, porém uma posição de ouro na qual esse ponto divide o segmento AB de modo que o quociente entre as medidas do segmento todo pela parte maior é igual ao quociente entre as medidas da parte maior pela parte menor.

$\dfrac{segmento\:todo}{parte\:maior}=\dfrac{parte\:maior}{parte\:menor}\Rightarrow \:\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{1-a}$

$1\cdot \left(1-a\right)=a^2\Rightarrow a^2+a-1=0$

Resolvendo a equação do 2° grau, obtemos:

$a=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\:a=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Como a representa uma medida, concluímos que $a=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ é chamada secção áurea. Ao dividir a medida do segmento unitário pela medida do segmento BC = a, obtemos:

$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{a}\Rightarrow \:\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

O valor encontrado $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=1,618....$ é o número de ouro representado pela letra grega φ(fi)

Saiba mais sobre número de ouro:https://brainly.com.br/tarefa/8185204?referrer=searchResults

#SPJ1