Question

3. Seja S o conjunto dos números naturais maiores
que 1 que são divisores de 360 e não possuem
fatores primos em comum com 147. Então, é
CORRETO afirmar que S contém
a) 6 elementos.
7 elementos.
c) 8 elementos.
d) 9 elementos.
como resolver?​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos fatorar 360 e 147:

360 = 2.2.2.3.3.5

147 = 3.7.7

Ou ainda:

$360=2^33^25\\147=7^23$

Os divisores de 360 nada mais são do que as combinações das dos seus fatores primos com vários expoentes diferentes, sendo que estes expoentes podem ser no máximo o seu expoente na fatoração de 360.

Como 3 aparece na fatoração de 147, só aceitamos os divisores que não têm 3 em sua composição, ou seja:

Combinações entre 2 elevado a no máximo 3 e 5 elevado a no máximo 1.

$2^0.5^0\\2^1.5^0\\2^2.5^0\\2^3.5^0\\2^0.5^1\\2^1.5^1\\2^2.5^1\\2^3.5^1$

São as possíveis combinações. Mas não contamos a primeira, pois ela é igual a 1.

São 7 elementos.

Outro jeito de contar seria somar 1 aos expoentes máximos e multiplicálos:

(3+1).(1+1)=8

Somamos 1 porque temos que considerar o expoente 0 também.

Lembramos de subtrair 1 do resultado, que é o caso em que ambos os expoentes são nulos e o número é igual a 1.