Question

3) Seja A = { x ∈ ℝ/ -1 ≤ x ≤ 2 }, B = { x ∈ ℝ/ 0 ≤ x ≤ 5 } e C = { x ∈ ℝ/ 0 < x < 3 }, determine:
a) A∩ C
b) C – B
c) A∩B∩C

Answer 1

A questão trata de operações entre conjuntos. Dados conjuntos distintos A, B e C, definimos as operações:

i) $A \cup B$   (lê-se A união B)

A operação de união entre conjuntos é uma operação que retorna o conjunto cujos elementos pertencem à, pelo menos, um dos conjuntos operados. Na forma de definição de conjuntos o conjunto união entre um conjunto A e um conjunto B é

$A \cup B = \{x \:|\: x\in A \: \:\mathrm{ou}\:\: x \in B\}$

De forma coloquial, trata-se do conjunto formado por todos os elementos de A e de B, sem repetição.

ii) $A \cap B$   (lê-se A interseção B)

A operação de interseção de conjuntos trata-se da operação que retorna o conjunto cujos elementos são elementos que estejam necessariamente nos dois conjuntos operados. Na forma de definição de conjuntos o conjunto interseção entre um conjunto A e um conjunto B é

$A \cap B = \{x\:|\: x\in A \:\:\mathrm{e}\:\:x\in B\}$

De forma coloquial, trata-se do conjunto formado por todos os elementos que estão em A e em B simultâneamente.

iii) $A-B$

A operação de subtração de conjuntos retorna um conjunto com todos os elementos de A, no entanto, retirando todos os elementos que pertençam à B (e portanto, à A e à B).

$A-B = \{x\:|\: x\in A \:\:\mathrm{e}\:\: x\notin B\}$

De forma coloquial, trata-se do conjunto de todos os elementos de A que não estejam também em B.

Sabendo das operações podemos fazer o exercício.

Dados os conjuntos

$A = \{x\in\mathbb{R} \:|\: -1\leq x \leq 2\}$

$B = \{x\in\mathbb{R} \:|\: 0\leq x\leq 5\}$

$C=\{x\in\mathbb{R} \:|\: 0<x<3\}$

a) $A\cap C$

Queremos a interseção de A com C, ou seja o conjunto definido por

$A\cap C = \{x\in \mathbb{R} \:|\: -1\leq x\leq 2 \:\:\mathrm{e}\:\: 0 < x < 3\}$

Comparando os intervalos chegamos a conclusão que o conjunto

$A \cap C = \{x\in \mathbb{R} \:|\: 0<x\leq 2\}$

b) $C-B$

Queremos a subtração de C por B, ou seja, o conjunto definido por

$C-B = \{x\in\mathbb{R}\:|\: 0<x<3\:\:\mathrm{e}\:\: (x< 0 \:\:\mathrm{ou} \:\:x>5)\}$

Comparando os intervalos chegamos à conclusão que não existem elementos, ou seja, o conjunto nulo.

$C-B = \{\}$

c) $A \cap B \cap C$

Queremos a interseção entre todos os conjuntos dados, assim, o conjunto resultante é

$A\cap B \cap C = \{x\in \mathbb{R} \:|\: -1\leq x\leq 2 \:\:\mathrm{e} \:\:0\leq x \leq 5\:\:\mathrm{e} \:\: 0<x<3\}$

Comparando os intervalos obtemos que

$A\cap B\cap C = \{x\in\mathbb{R}\:|\:0<x\leq 2\}$