Matemática, perguntado por Robert1234598, 6 meses atrás

3) Se log3 a = x, então log9 a² é igual a: (USAR A MUDANÇA DE BASE)
a) 2x²
b) x²
c) x + 2
d) 2x
e) x

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀Resolvendo essa questão de logaritmo, determinamos que se $\ell og_3\,a=x$ , então $\ell og_9\,a^2$ será igual a $x$ , correspondendo à alternativa e) x.

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Considerações e resolução

⠀⠀Como foi sugerido pelo enunciado, vamos usar a propriedade da mudança de base. Essa propriedade visa transformar o logaritmo numa razão de logaritmos a fim de mudar suas bases. Por exemplo, se quisermos mudar a base $n$ de $\ell og_n\,m$ para uma base $k$ , basta fazer a razão entre o logaritmo de $m$ e o logaritmo de $n$ , ambos nessa nova base: $\ell og_k\,m/\ell og_k\,n$ . A partir disso, vamos mudar o logaritmo proposto por essa questão para uma base 3, já que temos o valor definido de um logaritmo nessa base:

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$\Large\begin{array}{c}\ell og_9\,a^2=\ell og_9\,a^2\\\\\ell og_9\,a^2=\dfrac{\ell og_3\,a^2}{\ell og_3\,9}\\\\\end{array}$

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⠀⠀Assim, o logaritmo da potência é igual ao logaritmo da base, multiplicado pelo expoente (vamos converter 9 em uma potência de base 3 a fim de aplicar essa propriedade também):

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$\Large\begin{array}{c}\ell og_9\,a^2=\dfrac{2\cdot\ell og_3\,a}{\ell og_3\,3^2}\\\\\ell og_9\,a^2=\dfrac{2\cdot\ell og_3\,a}{2\cdot\ell og_3\,3}\end{array}$

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⠀⠀Pela consequência da definição de logaritmo, se o logaritmando e a base forem coincidentes, o logaritmo será igual a 1 (pois pela definição é verdade que $log_m\,m=1~\Leftrightarrow~m=m^1$ ):

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$\Large\begin{array}{c}\ell og_9\,a^2=\dfrac{2\cdot\ell og_3\,a}{2\cdot1}\\\\\ell og_9\,a^2=\dfrac{2\cdot\ell og_3\,a}{2}\end{array}$

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⠀⠀E como foi nos dado o valor do logaritmo de a na base 3, basta substituí-lo a fim de encontrar o resultado final:

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$\Large\begin{array}{c}\ell og_9\,a^2=\dfrac{2\cdot x}{2}\\\\\ell og_9\,a^2=\dfrac{\diagdown\!\!\!\!2\,x}{\diagdown\!\!\!\! 2}\\\\\!\boxed{\ell og_9\,a^2=x}\end{array}$

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⠀⠀Conclui-se, portanto, que a alternativa e) x responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$