Question

3) Se log 2=aelog3 = (a+b), então log3
√54 é :

4) Se log a=4 e log b=1, então log 3√4 a/b é igual a:

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Antes de iniciarmos, vamos relembrar uns conceitos e propriedades de Logaritmo.

I) Definição de logaritmo:

Sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

$\large\boxed {log_{a}(b) = x \longleftrightarrow \: a {}^{x} = b} \\ com \: a \: > 0,a \neq 1 \: \: e \: b \: > 0$

Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.

II) Propriedades dos logaritmos:

a) Logaritmo produto:

O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

$\large \boxed{log_{c}(a.b) \rightarrow log_{c}(a) + log_{c}(b) }$

b) Logaritmo quociente:

O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.

$\large \boxed{ log_{c}( \frac{a}{b} ) \rightarrow log_{c}(a) - log_{c}(b) }$

c) Logaritmo da potência:

O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.

$\large\boxed{log_{a}(b) {}^{c} = c. log_{a}(b) }$

d) Logaritmo de uma raiz:

O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando.

$\large \boxed{log_{a}( \sqrt[n]{b} ) \rightarrow log_{a}(b {}^{ \frac{1}{n} } ) \rightarrow = \frac{1}{n} . log_{a}(b) }$

Agora vamos de fato aos cálculos.

III) Cálculos:

$\large\boxed{a) log( \sqrt[3]{54} ) }$

Vamos começar fatorando o número 54.

54 = 3³.2

Sabendo que 54 pode ser expresso como 2.3³, vamos substituir no local de 54 e realizar as devidas propriedades:

$log( \sqrt[3]{ 54}) = log( \sqrt[3]{3 {}^{3}.2 } ) \\ \\ log( \sqrt[3]{3 {}^{3}.2 } ) = log(3. \sqrt[3]{2} ) \\ \\ log(3. \sqrt[3]{2} ) = log(3) + log( \sqrt[3]{2} ) \\ \\ log(3) + log( \sqrt[3]{2} ) = log(3) + log(2 {}^{ \frac{1}{3} } ) \\ \\ log(3) + log(2 {}^{ \frac{1}{3} } ) = log(3) + \frac{1}{3}. log(2) \\ \\ log(3) + \frac{1}{3} .log(2) = (a + b) + \frac{1}{3} .a \\ \\ (a + b) + \frac{1}{ 3} a = (a + b) + \frac{a}{3} \\ \\(a + b) + \frac{a}{3} = \frac{a}{3} + \frac{a}{1} + \frac{b}{1} \\ \\ \frac{a}{3} + \frac{a}{1} + \frac{b}{1} = \large\boxed {\frac{4a + 3b}{3}}$

Agora vamos fazer a mesma coisa no item b)

$\large \boxed{b) log( \sqrt[3]{ \frac{a {}^{3} }{b} } ) } \: \\ \\ \\ log( \frac{ \sqrt[3]{a {}^{3} } }{ \sqrt[3]{b} } ) \rightarrow log( \sqrt[3]{a {}^{3}) } - log (\sqrt[3]{b} ) \\ \\ log( \sqrt[3]{a {}^{3}}) - log( \sqrt[3]{b} ) = log(a) - log( \sqrt[3]{b} ) \\ \\ log(a) - log( \sqrt[3]{b} ) = log( a) - log(b {}^{ \frac{1}{3} } ) \\ \\ log(a) - log(b {}^{ \frac{1}{3} } ) = log(a) - \frac{1}{3} . log(b) \\ \\ log(a) - \frac{1}{3} log(b) = 4 - \frac{1}{3} .1 \\ \\ 4 - \frac{1}{3} .1 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12 - 1}{3} = \large\boxed{\frac{11}{3} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️