Matemática, perguntado por agathaheloisa, 3 meses atrás

3) São dados os pontos A ( -1, -3 ), B (5, 7 ), C (4, 2 ) e D( 2, 0 ). O ponto M1 é o ponto médio do segmento AB e o ponto M2 é o ponto médio do segmento CD. Determine a equação da reta que passa por M1 e M2.

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral da reta "r" que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: x + y - 4 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os pontos:

$\Large\begin{cases} A(-1, -3)\\B(5, 7)\\C(4, 2)\\D(2, 0)\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

Calcular o ponto médio "M1" entre os pontos "A" e "B":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} M_{1} = \bigg(\frac{X_{A} + X_{B}}{2},\,\frac{Y_{A} + Y_{B}}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(\frac{-1 + 5}{2},\,\frac{-3 + 7}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(\frac{4}{2},\,\frac{4}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (2,\,2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:M_{1} = (2,\,2)\end{gathered}$}$

Calcular o ponto médio "M2" entre os pontos "C" e "D":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} M_{2} = \bigg(\frac{X_{C} + X_{D}}{2},\,\frac{Y_{C} + Y_{D}}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(\frac{4 + 2}{2},\,\frac{2 + 0}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(\frac{6}{2},\,\frac{2}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (3,\,1)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\:M_{1} = (3,\,1)\end{gathered}$}$

Montar a equação que passa por "M1" e "M2":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Y - Y_{M_{1}} = \frac{Y_{M_{2}} - Y_{M_{1}}}{X_{M_{2}} - X_{M_{1}}}\cdot(X - X_{M_{1}})\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = \frac{1 - 2}{3 - 2}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = -\frac{1}{1}\cdot(x - 2)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - 2 = -x + 2\end{gathered}$}$

Chegando neste ponto devemos saber qual deve ser a forma final da equação da reta. Como não foi dado o tipo final da reta, vou deixar a equação final da reta em sua forma geral. Para isso, devemos passara todos os termos para o primeiro membro, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x + y - 2 - 2 = 0\end{gathered}$}$