Question

3- Sabendo que sen a = -3cos a, com "a" pertencente ao 2ºquadrante. Podemos afirmar que o valor de y= sen a + cos a. *
a) 2√10/5
b) 2
c) √10/5
d) √2

4) O valor da expressão abaixo, com tgx ≠ 0 é: *
sen x . sec x \ tg x
a) cotgx
b) sen
c) √2
d )1​

Answer 1

3)

Vamos começar utilizando a identidade trigonométrica  $\boxed{sen^2x+cos^2x=1}$ para determinar o módulo de sen(x) e cos(x).

Substituindo sen(a) na identidade pela sua expressão em função de cos(a), dada no enunciado, temos:

$\left(-3cos(a)\right)^2~+~cos^2(a)~=~1\\\\\\(-3)^2\cdot cos^2(a)~+~cos^2(a)~=~1\\\\\\9cos^2(a)~+~cos^2(a)~=~1\\\\\\10cos^2(a)~=~1\\\\\\cos^2(a)~=~\dfrac{1}{10}\\\\\\|cos(a)|~=~\sqrt{\dfrac{1}{10}}\\\\\\|cos(a)|~=~\dfrac{1}{\sqrt{10}}~\cdot~\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\\\\\|cos(a)|~=~\dfrac{1\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}^{\,2}}\\\\\\\boxed{|cos(a)|~=~\dfrac{\sqrt{10}}{10}}$

Lembre-se, no entanto, que este é o módulo de cos(a), precisamos atentar par o sinal. No 2º quadrante, o cosseno é negativo, logo:

$\boxed{cos(a)~=\,-\dfrac{\sqrt{10}}{10}}$

Assim, o sen(a), fica:

$sen(a)~=~-3cos(a)\\\\\\sen(a)~=~-3~\cdot \left(- \dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)\\\\\\\boxed{sen(a)~=~\dfrac{3\sqrt{10}}{10}}$

Como já consideramos o sinal do cosseno no cálculo, o resultado para sen(a) já teve o sinal avaliado, é positivo.

Por fim, vamos calcular a soma pedida:

$y~=~sen(a)~+~cos(a)\\\\\\y~=~\dfrac{3\sqrt{10}}{10}~+~\left(-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right)\\\\\\y~=~\dfrac{3\sqrt{10}}{10}~-~\dfrac{\sqrt{10}}{10}\\\\\\y~=~\dfrac{2\sqrt{10}}{10}\\\\\\\boxed{y~=~\dfrac{\sqrt{10}}{5}}~~ \Rightarrow~Letra~C$

4)

Vamos lembrar que sec(x) é o inverso da função cos(x) e a tg(x) é o quociente entre as funções sen(x) e cos(x), logo:

$sen(x)~\cdot~\dfrac{sec(x)}{tg(x)}~=~sen(x)~\cdot~\dfrac{\dfrac{1}{cos(x)}}{\dfrac{sen(x)}{cos(x)}}\\\\\\sen(x)~\cdot~\dfrac{sec(x)}{tg(x)}~=~sen(x)~\cdot~\dfrac{1}{cos(x)}~\cdot~\dfrac{cos(x)}{sen(x)}\\\\\\sen(x)~\cdot~\dfrac{sec(x)}{tg(x)}~=~\dfrac{sen(x)~\cdot~1~\cdot~cos(x)}{cos(x)~\cdot~sen(x)}\\\\\\sen(x)~\cdot~\dfrac{sec(x)}{tg(x)}~=~\dfrac{\backslash\!\!\!\!\!sen(x)~\cdot~1~\cdot~\backslash\!\!\!\!\!cos(x)}{\backslash\!\!\!\!\!cos(x)~\cdot~\backslash\!\!\!\!\!sen(x)}$

$sen(x)~\cdot~\dfrac{sec(x)}{tg(x)}~=~\dfrac{1~\cdot~1~\cdot~1}{1~\cdot~1}\\\\\\\boxed{sen(x)~\cdot~\dfrac{sec(x)}{tg(x)}~=~1}~~ \Rightarrow~Letra~D\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$