Question

3-resposta
4-so marca as raízes e determina o vertice e marque-o
pra agora

Answer 1

3) f(x) = ax² + bx + 3

A) 1 e 3 são raízes (zeros), então substituímos x por 1 e por 3 e igualamos a zero:

a(1)² + b(1) + 3 = 0 ⇒ a + b + 3 = 0 ⇒ a + b = - 3

a(3)² + b(3) + 3 = 0 ⇒ 9a + 3b + 3 = 0 ⇒ 9a + 3b = -3  ÷3  ⇒ 3a + b = -1
(dividimos toda equação por 3 para facilitar os cálculos)


Agora temos o sistema:

a + b = - 3
3a + b = -1

Isolando b na primeira equação e substituindo da segunda:

a + b = - 3 ⇒ b = - 3 - a

3a + b = -1 ⇒ 3a + (- 3 - a) = -1 ⇒ 3a - 3 - a = -1 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 2/2  ⇒  a = 1


Já temos o valor de a, então substituímos na primeira equação:

b = - 3 - a  ⇒ b = - 3 - 1 ⇒ b = - 4

Portanto, a = 1 e b = -4 e a função é f(x) = x² - 4x + 3


B) -1 e -3 são raízes (zeros), então substituímos x por -1 e por -3 e igualamos a zero:

a(-1)² + b(-1) + 3 = 0 ⇒ a(1) + (-b) + 3 = 0 ⇒ a - b + 3 = 0 ⇒ a - b = - 3

a(-3)² + b(-3) + 3 = 0 ⇒ a(9) + (-3b) + 3 = 0 ⇒ 9a - 3b + 3 = 0 ⇒ 9a - 3b = - 3
(novamente vamos dividir toda a equação por 3 para facilitar os cálculos):
9a - 3b = - 3  ÷3  ⇒  3a - b = -1


Agora temos o sistema:

a - b = - 3
3a - b = -1

Isolando b na primeira equação e substituindo da segunda:

a - b = - 3  ⇒  - b = - 3 - a  ⇒  b = 3 + a

3a - b = -1 ⇒ 3a - (3 + a) = -1 ⇒ 3a - 3 - a = -1 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 2/2  ⇒  a = 1


Já temos o valor de a, então substituímos na primeira equação:

b = 3 + a  ⇒ b = 3 + 1 ⇒ b = 4

Portanto, a = 1 e b = 4 e a função é f(x) = x² + 4x + 3


C) 1 é único zero, então substituímos x por 1 e igualamos a zero:

a(1)² + b(1) + 3 = 0 ⇒ a + b + 3 = 0 ⇒ a + b = - 3


Como nesse caso a função só possui uma única raiz, então Δ = 0

Δ = b² - 4·a·c  ⇒  b² - 4·a·3 = 0 ⇒ b² - 12a = 0

Agora temos o sistema:

a + b = - 3
b² - 12a = 0

Isolando a na primeira equação (poderia ser b) e substituindo da segunda:

a + b = - 3  ⇒  a = - 3 - b

b² - 12a = 0  ⇒ b² - 12(- 3 - b) = 0 ⇒ b² + 36 + 12b = 0

Observe que b² + 12b + 36 = (b + 6)²
(Se não souber o porque recomendo que pesquise/estude sobre "quadrado da soma" e "quadrado da diferença").

Portanto,

(b + 6)² = 0  ⇒ b + 6 = 0  ⇒  b = - 6

Já temos o valor de b, então substituímos na primeira equação:

a = - 3 - b  ⇒  a = - 3 - (- 6)  ⇒  a = - 3 + 6  ⇒  a = 3

Portanto, a = 3  e  b = -6 e a função é f(x) = 3x² - 6x + 3


4) Observe a imagem do gráfico em anexo:

y = x² + x - 6

Para construir o gráfico de uma função do segundo grau, precisamos das seguintes informações:

1) Saber se a concavidade da parábola é para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0):
Como na função dada, a = 1, portanto a > 0, então a concavidade é para cima.

2) O ponto onde a curva corta o eixo y:
Para isso calculamos o valor de y quando x = 0:
y = 0² + 0 - 6  ⇒  Logo y = -6
Portanto, a curva cortará o eixo y no ponto -6.

Obs.: O ponto onde a curva corta o eixo y é justamente o valor do coeficiente c, que nessa função é igual a -6 (Se o valor de c fosse 10, por exemplo, então a curva cortaria o eixo y no ponto 10).

3) As raízes da função, ou seja, os pontos onde a curva tocará o eixo x:
Para isto, calculamos os valores de x quando y = 0:

$x^{2}+x-6=0\Rightarrow \\ \\ \\ x= \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}\Rightarrow\\ \\ \\ x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm 5}{2}\Rightarrow\\ \\ \\ x_{1}=\dfrac{-1+5}{2}\Rightarrow x_{1}=\dfrac{4}{2}\Rightarrow x_{1}=2\\ \\ \\ x_{2}=\dfrac{-1-5}{2}\Rightarrow x_{2}=\dfrac{-6}{2}\Rightarrow x_{2}=-3$


4) Calcular as coordenadas do vértice da parábola, o ponto (Xv,Yv):

- Xv ⇒ Como as raízes são x=-3 e x=2, o coordenada x do vértice é a metade do segmento que vai de -3 a 2, nesse caso o Xv = (-3+2)/2 = -1/2 = -0,5.

-Yv ⇒ É o valor de y para o Xv, ou seja, quando x = -1/2:

$y=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{2}-6\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-6\Rightarrow y=\dfrac{1-2-24}{4}\Rightarrow\\ \\ \\ y=\dfrac{1-2-24}{4}\Rightarrow y=-\dfrac{25}{4}=-6,25$


Assim, o vértice da parábola é o ponto (-1/2,-25/4).

Outra forma de calcular o vértice é usando as fórmulas:

Xv = -b/2a  ⇒  Xv = -1/2(1)  ⇒  Xv = -1/2 = -0,5

Yv = -Δ/4a ⇒ Yv = - (b² - 4·a·c)/4a ⇒ Yv = - (1² - 4·1·(-6))/4·1 ⇒
Yv = -(1 + 24)/4  ⇒  Yv = -25/4 = -6,25